自动控制理论第七章.ppt

2019/5/4,第七章 离散化控制系统,1,作者： 浙江大学 邹伯敏 教授,自动控制理论,面向21世纪课程教材,第七章,离散化控制系统,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,2,第一节 引言,如果在系统中一次或几次的信号不是连续的模拟信号，而是在时间上离散的脉冲或数码信号，这种系统称为离散化控制系统。 由于这些离散信号是连续函数经采样后形成的，故又称这类系统为采样控制系统。,自动控制理论,图7-1 计算机控制系统方框图,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,3,从A/D和D/A转换器看模拟量与数字量之间的转换关系，且两者有着确定的比例关系，因而图7-1可以简化为图7-2,图7-2,图7-3,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,4,采取分时处理方式，用一台计算机控制多个被控对象。,图7-4,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,5,1）有利于系统实现高精度 2）有效地抑制噪声，提高了系统抗扰动的能力 3）不仅能完成复杂的控制任务，而且易于实现修改控制器的参数 4）有显示、报警等多种功能,自动控制理论,计算机控制系统的优点,分析离散系统的常用方法有两种：Z变换法和状态空间分析法。,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,6,第二节 信号的采样与复现,把连续信号变成脉冲或数字序列的过程叫做采样，把采样后的离散信号恢复为连续信号的过程称为信号的复现。,一、采样过程,图7-,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,7,式中：,，KT 脉冲出现时刻,（7-2）,（7-1）,图7-,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,8,图7-7,考虑当t0时，f(t)=0，则有,（-）,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,9, 脉冲产生的时刻；, KT时刻的脉冲强度；,把窄脉冲信号当理想脉冲信号处理是近似的，也是有条件的。,二、采样定理,设用于调制器载波的窄脉冲信号为 ；如图7-8所示。用傅立叶级数表示为,（7-4）,（7-5）,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,10,其中,若令,则,图7-,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,11,图7-,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,12,若令,则,或,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,13,图7-10,图7-11,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,14,图7-可知，相邻两频谱不重叠交叉的条件是,香农采样定理,图7-12,香农定理的物理意义是：采样角频率 若满足 ，则 就含有连续信号f(t)的全部信息，通过图7-11所示的理想滤波器，则可把原信号f(t)不失真的复现,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,15,如用理想脉冲序列采样的离散化信号，其傅氏变换表达式,二、零阶保持器,把采样值按常数、线形函数和抛物线函数外推的保持器分别称为零阶、一阶和二阶保持器。,图7-13,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,16,零阶保持器( )是把kT时刻的采样值恒值地保持到下一采样时刻（K+1）T。,由图7-13(b)得,脉冲响应,传递函数,频率特性,把 代入上式，得,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,17,图7-15,图7-14,是一种近似的带通滤波器,由 恢复的函数 比原函数 在相位上要平均滞后,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,18,第三节 变换与反变换,一、变换,设离散化信号,令 ，则,定义：,变换的三种求法：,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,19,解：,例7-1 求：,、级数求和法,当 时， ，则有,如果 ,则上式可写为：,例7-2 求：,，,解：,如果 ,则：,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,20,2、部分分式法,例7-3 求的 的Z变换,解：,例7-4 求,解：,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,21,2、留数计算法,设 的拉氏变换为 ，且其为真有理式， 为 的极点，则Z变换用下式求得,为 在 上的留数：,若 含有 的一阶极点时，对应的留数为：,若 含有 的q阶重极点时，对应的留数为：,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,22,例7-5 已知,求,解,例7-6 试求 的Z变换,解,二、变换的基本性质,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,23,、线性定理,证：,2、滞后定理,设 t0 时, , ,则：,式中k、T均为常量.,证：,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,24,考虑到nk， 则有 ：,延迟环节,图7-17,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,25,3、超前定理,证：,如果,，则,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,26,4、终值定理,设f(t)的Z变换为F(z)，且F(z) 不含有z的二重及以上的极点和单位圆外的极点，则F(t)的终值为,证：,、复数移位定理,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,27,证：,令,，则：,6、卷积定理,设 , , 的Z变换分别为 , , 且当t0时,已知,则,证：,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,28,考虑到：,时,则：,令：,当k=0时,三、反变换,把 反变换为 的过程叫Z的反变换，记为,1、长除法,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,29,例7-8,求 的反变换,解,2、部分分式法,步骤:,将分母 的多项式分解为因式,把 展开为部分分式,求各部分分式项的Z变换之和,例7-9,已知 求,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,30,或,k=0，1，2,3、反演公式,例8-10,求 的Z反变换,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,31,解,或,第四节 脉冲传递函数,脉冲传递函数定义：在零初始条件下，输出离散化信号的Z变换 与输入离散化信号的Z变换 之比，即,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,32,图7-18,令,则,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,33,当 t=kT 时，,考虑到 t0 时，,则,由卷积定理得,离散化系统的脉冲传递函数就是该系统单位脉冲响应函数采样值的Z变换,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,34,图7-19,为使 能真实地反映C（t）,若在采样开关后没有设置ZOH ,则要求 G（S）分母多项式S的阶次至少高于其分子二阶。,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,35,一. 串联环节的脉冲传递函数,图7-20,所以,图(a),自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,36,图(b),例7-11,令图7-20中的,试求(a)、(b)两种连接形式下的脉冲传递函数,解,图(a),图(b),例7-12, 求脉冲传递函数,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,37,自动控制理论,图7-21,解：,令,则,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,38,二. 闭环脉冲传递函数,图7-22,自动控制理论,所以,由于,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,39,对于单位反馈系统,图7-23,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,40,图7-24,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,41,例7-13, 求闭环脉冲传递函数,自动控制理论,或,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,42,例7-14, 求图7-25所示系统的单位阶跃响应,图7-25,图中a=1,k=1,T=1s.,解,把 代入,得,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,43,图7-26,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,44,第五节 差分方程,一、差分定义,一阶前向差分,二阶前向差分,一阶后向差分,二阶后向差分,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,45,二、差分方程,图7-28,当t=kT时,由于,所以,三、用Z变换求解差分方程,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,46,例7-15, 求解下列差分方程,解,已知,因为,所以,K=0,1,2,例7-16, 求解下列差分方程,已知,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,47,解,已知 ,将 代入方程得 ,对方程等号两边取Z变换,得,其中,因为,所以,或,K=0,1,2,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,48,图7-29,四、用迭代法求解差分方程,例7-17, 试用迭代法求解下列差分方程,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,49,解,例7-18, 闭环系统的脉冲传递函数为,若,系统稳定,系统不稳定,求解系统的单位阶跃响应,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,50,解,表7-3,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,51,第六节 离散控制系统的性能分析,一、稳定性分析,令,则,闭环脉冲传递函数的极点,若 ,即 的所有极点均位于Z平面上的单位圆内,则,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,52,1. S平面与Z平面间的对应关系,自动控制理论,离散系统稳定的充要条件:闭环脉冲传递函数的所有极点均位于 Z平面上的单位圆内。,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,53,设,则,平面上的虚轴,即,自动控制理论,图7-31,2. 劳斯稳定判据,令,或,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,54,图7-31,经变换后,离散化系统特征方程一般形式为,自动控制理论,Z平面上单位圆的内域 对应左半平面；,Z平面上单位圆的外域 对应右半平面。,结论,Z平面上单位圆的圆周对应平面的虚轴的虚轴；,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,55,例7-19, 已知 ,试用劳斯稳定判据确定该系统稳定时K值范围,图7-32,解,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,56,令,代入上式,劳斯表,0.316,1.264,2.376-0.316k,0,2.376-0.316k,2.376-0.316k 0, 0 k 0.866,采样具有降低系统稳定性作用。,二、闭环极点与瞬态响应的关系,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,57,设,令,则,假设 无重极点,则,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,58,1、 实数极点,位于单位圆内正实轴上极点对应的瞬态分量是一个单调的衰减过程，而位于圆内负实轴上极点对应的瞬态分量是正负交替变化的衰减过程。,2、 共轭极点,设一对共额极点为,令,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,59,图7-33,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,60,下面分析S平面上不同闭环极点与其脉冲响应间的对应关系。,图7-33a中示出了实部不同，虚部均为 的4对共轭极点和4个实极点。,图7-33a中所示的极点均映射到Z平面的正实轴上，为图7-33b所示。,在一个完整的振荡周期内只采一次，因而采样后的脉冲序列不能反映原有脉冲响应的变化规律。,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,61,图7-34,由于,即,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,62,在一个完整的振荡周期内，每隔180采一次，采样后的输出为正负交替的脉冲序列。,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,63,图7-35,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,64,在一个完整的振荡周期内，采样的次数分别为8次，4次和3次，,闭环极点尽可能配置在Z平面上单位圆内正实轴的附近，且距坐标原点的距离越小越好。,三、最少拍系统,当 ，k=0 时，称系统具有无穷大的稳定度。,离散化系统闭环脉冲传递函数的极点全部位于Z平面的坐标原点，则称系统具有无穷大稳定度。,最少拍系统在典型输入信号作用下，以有限拍结束响应过程，且在采样时刻上无稳太误差的离散化系统。,令,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,65,当,则,一个n阶稳定系统的脉冲响应共有n个脉冲序列，即在典型信号作用下，系统的瞬态响应将在n个采样周期内结束。,例如二阶系统的闭环脉冲传递函数为：,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,66,则：,表示系统的输出在第二拍就完全跟踪输入 的变化。,则：,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,67,表示系统的输出在第二拍就完全跟踪输入 的变化，但是其超调量 。,按照斜坡输入设计的最少拍系统，不能满足阶跃输入动态响应的性能要求。 。,图7-36,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,68,四、离散化系统的稳态误差,图7-37,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,69,条件：系统稳定，且 不含Z=1的二重及二重以上极点。,1、阶跃输入 。,静态位置误差系数,0 型系统：,其中 为常数, 型和型系统：,自动控制理论,2019/5/4,第七章 离散化控制系统,70,2、斜坡输入,静态位置误差系数,其中,0 型系统：, 型系统：,自动控制理论,2019/5/4,第