浙江2020版高考数学第九章平面解析几何9.2两条直线的位置关系讲义（含解析）.docx

9.2两条直线的位置关系最新考纲考情考向分析1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.会求过两点的直线斜率、两直线的交点坐标、两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离.以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、抛物线交汇考查.题型以选择、填空题为主，要求相对较低.1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.()当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直：()如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.(2)两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.2.几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|.(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d.概念方法微思考1.若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示当两条直线l1与l2的斜率都存在时，1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l1与l2也垂直.2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示(1)将方程化为最简的一般形式.(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x，y的系数分别对应相等.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(3)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()(5)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上.()题组二教材改编2.P110B组T2已知点(a，2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()A.B.2C.1D.1答案C解析由题意得1.解得a1或a1.a0，a1.3.P101A组T10已知P(2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_.答案1解析由题意知1，所以m42m，所以m1.4.P110B组T1若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为_.答案9解析由得所以点(1，2)满足方程mx2y50，即m12250，所以m9.题组三易错自纠5.直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m等于()A.2B.3C.2或3D.2或3答案C解析直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则有，故m2或3.故选C.6.直线2x2y10，xy20之间的距离是_.答案解析先将2x2y10化为xy0，则两平行线间的距离为d.7.若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.题型一两条直线的平行与垂直例1已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)当l1l2时，求a的值.解(1)方法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线可化为l1：yx3，l2：yx(a1)，l1l2解得a1，综上可知，当a1时，l1l2，a1时，l1与l2不平行.方法二由A1B2A2B10，得a(a1)120，由A1C2A2C10，得a(a21)160，l1l2可得a1，故当a1时，l1l2.(2)方法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不成立；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于l2，故a0不成立；当a1且a0时，l1：yx3，l2：yx(a1)，由1，得a.方法二由A1A2B1B20，得a2(a1)0，可得a.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.跟踪训练1(1)(2012浙江)设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若直线l1与l2平行，则a(a1)210，且，即a2或a1，所以a1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件.(2)已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值.l1l2，且直线l1过点(3，1)；l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.解l1l2，a(a1)b0，又直线l1过点(3，1)，3ab40.故a2，b2.直线l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在.k1k2，即1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b.故a2，b2或a，b2.题型二两直线的交点与距离问题1.若直线l与两直线y1，xy70分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，1)，则直线l的斜率是()A.B.C.D.答案A解析由题意，设直线l的方程为yk(x1)1，分别与y1，xy70联立解得M，N.又因为MN的中点是P(1，1)，所以由中点坐标公式得k.2.若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()A.B.C.D.答案C解析因为，所以两直线平行，将直线3x4y120化为6x8y240，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.3.已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_.答案解析方法一由方程组解得交点坐标为.又交点位于第一象限，解得k.方法二如图，已知直线yx2与x轴、y轴分别交于点A(4，0)，B(0，2).而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示这是一条过定点P(2，1)，斜率为k的动直线.两直线的交点在第一象限，两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，动直线的斜率k需满足kPAkkPB.kPA，kPB.k.4.已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为_.答案或解析设点P的坐标为(a，b).A(4，3)，B(2，1)，线段AB的中点M的坐标为(3，2).而AB的斜率kAB1，线段AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50.点P(a，b)在直线xy50上，ab50.又点P(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，2，即4a3b210，由联立解得或所求点P的坐标为(1，4)或.思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例2过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_.答案x4y40解析设l1与l的交点为A(a，82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a，2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.命题点2点关于直线对称例3如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A.3B.6C.2D.2答案C解析直线AB的方程为xy4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(2，0)，则光线经过的路程为|CD|2.命题点3直线关于直线的对称问题例4直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是_.答案x2y30解析设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于xy20的对称点为P(x0，y0)，由得由点P(x0，y0)在直线2xy30上，2(y2)(x2)30，即x2y30.思维升华解决对称问题的方法(1)中心对称点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.跟踪训练2(2018宁波模拟)已知直线l：3xy30，求：(1)点P(4，5)关于l的对称点；(2)直线xy20关于直线l对称的直线方程；(3)直线l关于(1，2)的对称直线.解(1)设P(x，y)关于直线l：3xy30的对称点为P(x，y)，kPPkl1，即31.又PP的中点在直线3xy30上，330.由得把x4，y5代入得x2，y7，点P(4，5)关于直线l的对称点P的坐标为(2，7).(2)用分别代换xy20中的x，y，得关于l对称的直线方程为20，化简得7xy220.(3)在直线l：3xy30上取点M(0，3)，关于(1，2)的对称点M(x，y)，1，x2，2，y1，M(2，1).l关于(1，2)的对称直线平行于l，k3，对称直线方程为y13(x2)，即3xy50.妙用直线系求直线方程在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系.一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系.例1求与直线3x4y10平行且过点(1，2)的直线l的方程.解由题意，设所求直线方程为3x4yc0(c1)，又因为直线过点(1，2)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为3x4y110.二、垂直直线系由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系.可以考虑用直线系方程求解.例2求经过A(2，1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程.解因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yC0，又直线过点A(2，1)，所以有221C0，解得C0，即所求直线方程为x2y0.三、过直线交点的直线系例3求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程.解方法一将直线l1，l2的方程联立，得解得即直线l1，l2的交点为(1，2).由题意得直线l3的斜率为，又直线ll3，所以直线l的斜率为，则直线l的方程是y2，即5x3y10.方法二由于ll3，所以可设直线l的方程是5x3yC0，将直线l1，l2的方程联立，得解得即直线l1，l2的交点为(1，2)，则点(1，2)在直线l上，所以5(1)32C0，解得C1，所以直线l的方程为5x3y10.方法三设直线l的方程为3x2y1(5x2y1)0，整理得(35)x(22)y(1)0.由于ll3，所以3(35)5(22)0，解得，所以直线l的方程为5x3y10.1.直线2xym0和x2yn0的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定答案C解析直线2xym0的斜率k12，直线x2yn0的斜率k2，则k1k2，且k1k21.故选C.2.(2018嘉兴期末)点(1，0)到直线xy10的距离是()A.B.C.1D.答案A解析由点到直线的距离公式得点(1，0)到直线xy10的距离为，故选A.3.(2018浙江嘉兴一中月考)点P在直线l：xy10上运动，A(4，1)，B(2，0)，则|PA|PB|的最小值是()A.B.C.3D.4答案C解析A(4，1)关于直线xy10的对称点为A(2，3)，|PA|PB|PA|PB|，当P，A，B三点共线时，|PA|PB|取得最小值|AB|3.4.过点M(3，2)，且与直线x2y90平行的直线方程是()A.2xy80B.x2y70C.x2y40D.x2y10答案D解析方法一因为直线x2y90的斜率为，所以与直线x2y90平行的直线的斜率为，又所求直线过M(3，2)，所以所求直线的点斜式方程为y2(x3)，化为一般式得x2y10.故选D.方法二由题意，设所求直线方程为x2yc0(c9)，将M(3，2)代入，解得c1，所以所求直线为x2y10.故选D.5.若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2之间的距离为()A.B.4C.D.2答案C解析l1l2，a2且a0，解得a1，l1与l2的方程分别为l1：xy60，l2：xy0，l1与l2的距离d.6.已知直线l1：y2x3，直线l2与l1关于直线yx对称，则直线l2的斜率为()A.B.C.2D.2答案A解析直线y2x3与yx的交点为A(1，1)，而直线y2x3上的点(0，3)关于yx的对称点为B(3，0)，而A，B两点都在l2上，所以.7.(2018绍兴调研)设直线l1：(a1)x3y2a0，直线l2：2x(a2)y10.若l1l2，则实数a的值为_，若l1l2，则实数a的值为_.答案4解析由l1l2得2(a1)3(a2)0，故a；当l1l2时，有则a4.8.已知直线l过点P(3，4)且与点A(2，2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为_.答案2x3y180或2xy20解析显然当直线l的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由已知，得，k2或k.所求直线l的方程为2xy20或2x3y180.9.(2018浙江嘉兴一中月考)已知直线l1：axy60与l2：x(a2)ya10相交于点P，若l1l2，则a_，此时点P的坐标为_.答案1(3，3)解析直线l1：axy60与l2：x(a2)ya10相交于点P，且l1l2，a11(a2)0，即a1，联立方程易得x3，y3，P(3，3).10.(2018浙江杭州名校协作体月考)已知点A(0，1)，直线l1：xy10，直线l2：x2y20，则点A关于直线l1的对称点B的坐标为_，直线l2关于直线l1的对称直线的方程是_.答案(2，1)2xy50解析设B(x，y)，则解得即B(2，1).由得设C(4，3)，由(1)得l2上的点A(0，1)关于直线l1的对称点为B，因此所求对称直线过B，C两点，所以y3(x4)，即2xy50.11.已知方程(2)x(1)y2(32)0与点P(2，2).(1)证明：对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.(1)解显然2与(1)不可能同时为零，故对任意的实数，该方程都表示直线.方程可变形为2xy6(xy4)0，解得故直线经过的定点为M(2，2).(2)证明过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|PM|，此时对应的直线方程是y2x2，即xy40.但直线系方程唯独不能表示直线xy40，M与Q不可能重合，而|PM|4，|PQ|0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且l1与l2间的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：点P在第一象限；点P到l1的距离是点P到l2的距离的；点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是.若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由.解(1)直线l2：2xy0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d，所以，即，又a0，解得a3.(2)假设存在点P，设点P(x0，y0).若P点满足条件，则P点在与l1，l2平行的直线l：2xyc0上，且，即c或，所以2x0y00或2x0y00；若P点满足条件，由点到直线的距离公式，有，即|2x0y03|x0y01|，所以x02y040或3x020；由于点P在第一象限，所以3x020不可能.联立方程2x0y00和x02y040，解得(舍去)联立方程2x0y00和x02y040，解得所以存在点P同时满足三个条件.13.已知直线y2x是ABC中C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(4，2)，(3，1)，则点C的坐标为()A.(2，4) B.(2，4)C.(2，4) D.(2，4)答案C解析设A(4，2)关于直线y2x的对称点为(x，y)，则解得BC所在直线方程为y1(x3)，即3xy100.同理可得点B(3，1)