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4-5 第3讲 柯西不等式1设x，y，zR，2xy2z6，试求x2y2z2的最小值解：考虑以下两组向量u(2，1，2)，v(x，y，z)，根据柯西不等式(uv)2|u|2|v|2，得2x(1)y(2)z222(1)2(2)2(x2y2z2)，即(2xy2z)29(x2y2z2)，将2xy2z6代入其中，得369(x2y2z2)，即x2y2z24，故x2y2z2的最小值为42设x，y，zR，x2y2z225，试求x2y2z的最大值与最小值解：根据柯西不等式，有(1x2y2z)212(2)222(x2y2z2)，即(x2y2z)2925，所以15x2y2z15，故x2y2z的最大值为15，最小值为153已知大于1的正数x，y，z满足xyz3求证：证明：由柯西不等式及题意得，(x2y3z)(y2z3x)(z2x3y)(xyz)227又(x2y3z)(y2z3x)(z2x3y)6(xyz)18，所以，当且仅当xyz时，等号成立4(2018湘中名校联考)已知关于x的不等式|xa|b的解集为x|2x4(1)求实数a，b的值；(2)求的最大值解：(1)由|xa|b，可得baxba，所以ba2且ba4解得a3，b1(2)利用柯西不等式，可得()2，当且仅当，即t2时等号成立当t2时，的最大值为25设函数f(x)|x4|x3|，f(x)的最小值为m(1)求m的值；(2)当a2b3cm(a，b，cR)时，求a2b2c2的最小值解：(1)法一：f(x)|x4|x3|(x4)(x3)1，故函数f(x)的最小值为1，即m1法二：f(x)当x4时，f(x)1；当x1；当3x0，a2b26，所以g(a)g(b)4(当且仅当ab时取等号)即g(a)g(b)m2已知a0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值解：(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为abc，又f(x)的最小值为4，所以abc4(2)由(1)知abc4，由柯西不等式得(4
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