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电 磁 场 作 业 答 案第1章 矢 量 分 析1.1 什么是场？什么是矢量场？什么是标量场？什么是静态场？什么是时变场？答：如果在空间某一个区域内上任意一点都有一确定物理量值与之对应，则这个区域就构了一个物理量的场。如果这个确定物理量值是一个标量（只有大小没有方向），我们称这种场为标量场，如温度场、密度场、电位场等等。如果这个确定物理量值是一个矢量（既有大小又有方向），我们称这种场为矢量场，如电场、磁场、重力场等等。如果在场中的这个物理量仅仅是空间位置的函数，而不是时间的函数（即不随时间变化的场），我们称这种场为静态场。如果在场中的这个物理量不仅仅是空间位置的函数，而且还是时间的函数（即随时间变化的场），我们称这种场为时变场。1.2 什么是标量？什么是矢量？什么是常矢？什么是变矢？什么是单位矢量？答：一个物理量如果仅仅只有大小的特征，我们称此物理量为标量。例如体积、面积、重量、能量、温度、压力、电位等。如果一个物理量不仅仅有大小，而且还具有方向的特征，我们称此物理量为矢量。例如电场强度，磁感应强度、电位移矢量、磁场强度、速度、重力等。一个矢量如果其大小和方向都保持不变的矢量我们称之为常矢。如果矢量的大小和方向或其中之一是变量的矢量称为变矢。矢量与矢量的模值的比值，称为单位矢量。即模值为1的矢量称为单位矢量1.3什么是等值面？什么是等值面方程？什么是等值线？什么是等值线方程？答：在标量场中许多相同的函数值（他们具有不同的位置）。构成的曲面，称为等值面。例如，温度场中由相同温度构成的等温面，电位场中相同电位构成的等位面等都是等值面。描述等值面的方程称为等值面方程。假定是坐标变量的连续可微函数。则等值面方程可表述为 （c为任意常数） 在标量场中平面中相同的函数值构成的曲线，称为等值线。描述等值线的方程称为等值线方程。假定是坐标变量的连续可微函数。则等值线方程可表述为 （c为任意常数）1.4求下列电场的等位线方程(1) ， (2) 解：根据等值线方程的定义即电位函数应为一常数，所以等位线方程为 ，即 ； 即 （）1.5 求下电场的等值面方程1）， 2）， 3）解：根据等值面方程的定义即电位函数应为一常数，所以等位面方程为 即 即 即 ，（为常数）1.6 什么方向导数？什么梯度？梯度与方向导数的关系？答：在标量场中任一点在某一方向上的变化率称为方向导数。在任意一个给定点所有方向上方向导数的最大值，称为该点的梯度梯度是在某一点所有方向导数的最大值；而方向导数是梯度在某一方向上的投影。1.7求函数 在点M(0,1,1) 沿 方向的方向导数。解：在求解方向导数时首先要求出标量函数对坐标轴各变量的变化率，然后求出沿方向的方向余弦，带入方向导数公式，即 在点M(1,0,1) 有 l的方向余弦是由式得 1.8求函数 在点M(0,1,1)的梯度。解：根据梯度计算公式得 即 1.9什么是矢量线？什么是通量？什么是散度？答：在矢量场中用一些有向曲线来描述矢量场，如果曲线上每一点的切线方向都表示该点的矢量场的方向，这些曲线称为矢量线。在矢量场中任意矢量F沿有向曲面S的积分称为矢量F通过该有向曲面S的通量。即 在矢量场F中的任一点P作一包围该点的任意闭合面s，并使s所限定的体积以任意方式趋于零时，穿出该闭合面s的通量与 s所限定体积比值的极限值称为矢量场F在点P的散度，记作divF（读作散度F）。即 1.10求矢量场中矢量 经过点M(1,2,3)的矢量线方程。解：在矢量场中任意矢量可以表示为和矢量方程可得 解微分方程，可得 ，将点的坐标代入，可得 ，矢量线方程为 ， 1.11设s是上半球面，它的单位法线矢量与oz轴的夹角是锐角，求矢量场 向所指的一侧穿过s的通量。提示：r与同指向解：根据题意选取球坐标则矢量 ， 而球面上任意微元面积为 ，因此，根据通量定义可得 1.12试计算空间矢量场矢量的散度。解：根据散度在直角坐标系中的表示式 可得 1.13什么是环量？什么是旋度？答：在矢量场中任意矢量F沿有向闭合曲线的积分称为矢量F沿曲线的环量。矢量场中矢量F在某一点的旋度是一矢量，其大小是矢量F在该点的最大环量面密度，其方向是环量面密度最大值时面元正法线单位矢量。1.14求矢量场 (c为常数）沿下列曲线的环量 (1)圆周（旋转方向与轴成右手关系）(2)圆周（旋转方向与轴成右手关系）解：设圆周包围的曲面为，则，据斯托克斯定理，可得1） 其中 2)1.15 试计算空间矢量场矢量的旋度：解：由 得 1.16 试证明 (1)对于标量函数，有 (2) 对于矢量函数，有第2章 静 电 场2.1什么是静电场？什么是电荷守恒定律？ 答：相对于观察者来说静止不动，其电量也不随时间发生变化的电荷称之为静电荷。静电荷产生的电场称为静电场。静电场是一种不随时间变化的电场。宏观世界里电荷既不能被产生，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体上，或者从物体的一部分转移到另一部分。2.2什么是实验电荷？什么是点电荷？什么是环量？答：在电场中一个电荷产生的电场相对于场源产生电场的影响可以忽略不记，这样的电荷称为实验电荷。一般来说当一个带电体距离观察点的距离远远大于带电体本身的尺寸时，带电体的大小和几何尺寸可以忽略，则该带电体可近似看作一个点电荷。2.3在宏观世界电荷是如何分布的？答：在宏观世界电荷是连续分布的。但连续分布电荷的带电体，其电荷分布不一定是均匀地。具体分布有1电荷体分布；2电荷面分布，3电荷线分布。2.4简述库仑定律答：真空中两个静止的点电荷和之间有相互作用力F，其作用力的大小与两电量，的乘积成正比；与，之间距离R的平方成反比；其作用力的方向在它们的连线方向；如果两点电荷同性则为斥力，异性为引力。其数学表达式为： 2.5三个点电荷（库），（库），分别放在直角坐标系中的三点上：（0，0，0，）（0，1，1，），（0，-1，-1，）。求放在点（6，0，0）上的点电荷（库）所受的力。解：由库仑定理 得 同理在点（6，0，0）上的点电荷所受的力由F1，F2，F3组成。即2.6为什么引入电场强度？电场强度是如何定义的？答：为了描述电场的性质我们引入了电场强度。在电场中任意点放置一实验电荷，实验电荷在该点所受的力与该实验电荷电量的比值称为该点的电场强度，用数学公式表示为：2.7电位与电场强度是什么关系？表明电位的物理意义。答：电位与电场强度是负梯度关系。即 电位表明单位正电荷从该点到参考点电场力所做的功。电位是相对值，电场中不同参考个点的电位值不同。但电场中任意两点的差值与参考点无关。2.8有一长为，电荷线密度为的直线电荷。(1) 求直线延长线上到线电荷中心距离为处的电场强度和电位；(2) 求线电荷中垂线上到线电荷中心距离为处的电场强度和电位。 题2.4图解：(1)如题2.4图（a）建立坐标系，题设线电荷位于轴上之间，则处的电荷微元在坐标原点产生的电场强度和电位分别为，由此可得线电荷在坐标原点产生的电场强度和电位分别为(2)如题2.4图（b）建立坐标系，题设线电荷位于轴上之间，则处的电荷微元在点处产生的电场强度和电位分别为，式中，分别代入上两式，并考虑对称性，可知电场强度仅为方向，因此可得所求的电场强度和电位分别为2.9半径为的圆盘，均匀带电，电荷面密度为。求圆盘轴线上到圆心距离为的场点的电位和电场强度。题2.8图解：根据电荷分布的对称性，采用圆柱坐标系。坐标原点设在圆盘形面电荷的圆心，轴与面电荷轴线重合。场点P的坐标为。在带电圆盘上取一个电荷元，源点坐标为。由电荷元产生的电位 计算P点电位时，场点坐标不变，源点坐标中是变量。 整个圆盘形面电荷产生的电位为 根据电荷分布的对称性，整个圆盘形面电荷产生的电场强度只有方向的分量 2.10什么是电偶极子？答：两个等值异号的点电荷所组成的系统，其特征是两电荷之间距离远远小于两电荷到观察点的距离，即r。2.11在球坐标系中，已知电偶极子电位为 其中、试求电偶极子所在空间任意点电场强度。解：电位与电场强度是负梯度关系在球坐标系中梯度公式为 将 代入上式得 (注意:电位不是坐标的函数)2.12简述静电场中的高斯定理？什么是介质击穿？什么是击穿强度？什么是束缚电荷？什么是电极化？什么是极化强度？答：在静电场中电位移矢量通过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面所包围的电荷电量。即 介质在电场强度达到一定强度的作用下，介质中的电子将摆脱原子核的束缚成为自由电子，使介质导电，这一现象称为介质击穿。使介质发生击穿的电场强度，称为击穿强度。 在电场中，介质内部的电荷不能摆脱原子核的束缚成为自由电子的电荷，称为束缚电荷。 在电场作用下，束缚电荷发生位移，这种现象称为电极化。 单位体积内，电偶极矩的矢量和。即 2.13 在真空中有一个半径为的带电球体，其体电荷密度(k是常数，r是球坐标系的径向变量)，求该球内、外的电场强度和电位的表达式。解：1求球内、外的D和E由于电场的球对称性，在与带电球同心，半径为r的高斯面上，D与介质无关，方向是径向。题2.14图 当r时， 所以 2求球内、外电位分布 因电荷分布在有限区域，故可选无穷远点为参考点。 当r时， 当r时， 2.14 有两相距为的平行无限大平面电荷，电荷面密度分别为和。求两无穷大平面分割出的三个空间区域的电场强度。解：如题2.14图所示的三个区域中，作高斯面，据高斯通量定理，可得在区域（1）和（3）中，电场强度为零；再作高斯面，据高斯通量定理，可得在区域（2），2.15 求厚度为，体电荷密度为的均匀带电无限大平板在空间三个区域产生的电场强度。解：如图2.15所示的三个区域中，作高斯面，据高斯通量定理，电场强度在上的通量为题2.15图可得在区域（1）和（3）中，电场强度 对于区域（2），如图建立坐标系，作高斯面，据高斯通量定理，电场强度在上的通量为 ，得 题2.16图2.16平行板电容器的极板面积S=400（厘米）2，间距d=0.5(厘米)，中间的一半是玻璃，另一半是空气，如题2.16图所示。已知玻璃和空气的击穿场强分别是90（千伏/厘米）和30（千伏/厘米），问极板间电压为U=10（千伏）时，电容器是否会被击穿？解：设两极板间电场的方向沿ed方向（正极板指向负极板，除去边界效应）。由边界条件得 玻璃介质中电位移矢量 空气介质中电位移矢量 即 （1）又由于 （2）求解方程（1）和（2）电场强度是 和 将、和U=10（千伏）代入上式得 E1=35（千伏/厘米）；E2=5（千伏/厘米）所以，当极板间电压为10（千伏）时，在玻璃中和空气中的场强分别是35（千伏/厘米）和5（千伏/厘米），空气层要被击穿，10千伏的电压全加在玻璃层上，仍小于玻璃的击穿场强。因此电容器不会完全击穿。2.17 简述静电场方程及其物理意义答： 表明静电场是一个无旋场。 介质中某点的电位移矢量的散度等于该点的自由电荷的体密度。2.18简述静电场的边界条件答：场量由一种介质进入另一种介质时，在两种不同介质分界面上场量要发生变化，场量发生变化规律称为边界条件。电场强度的边界条件 在两种介质形成的边界上，分界面上的电场强度切向分量相等，说明切线方向的电场强度是连续的。电位移矢量的边界条件 说明，如果两种媒质的分界面上有一层自由电荷，则D的法向分量是不连续的。1假设有两种媒质如果一种是导体，另一种媒质是电介质。则 2假设有两种媒质都是电介质，而且分界面上没有自由面电荷，则电位的边界条件 说明分界面两侧的电位是连续的。 2.19简述电容的概念答：当两导体在几何形状，导体相互位置和导体之间的介质一定的情况下，导体所带电荷与两导体之间的电压成正比，比例系数称为电容。 即 多导体系统又分为自有电容和互有电容。自有电容是导体对地具有的电容。互有电容是多导体之间具有的的电容。2.20 球形电容器内导体极板半径为，外导体极板半径为，极板间充满介电常数为的电介质。求电容器的电容。解：设球形电容器内导体电极上的分别带有电荷，则在极间介质中的电场强度为 ，极间电压为 因此 2.21如何计算电场能量？答：可以根据带电体上的电位和电量进行计算，也可以根据电场的能量密度进行计算，即2.22 内、外两个半径分别为、的同心球面极板组成的电容器，极板间介质的介电常数为，当内、外电极上的电荷分别为时，求电容器内储存的静电场能量。题2.22图解：如题2.22图建立球坐标，球形极板间的电场强度和电位移矢量为 ，则极板间的电场能量 第3章 静电场问题的解法3.1简述求解静电场问题是如何分类的？如何求解他们问题？答：静电场问题总的来说可分为两种类型：分布型问题和边值型问题。静电场问题不论是分布型问题还是边值型问题的解法又可分为解析法和数值法。解析法的解是一种数学表达式，其解是精确解。解析法包括分离变量法、镜像法、复变函数法等。用公式求解的方法均为解析法。数值法的解则是直接计算得到的一组数值，其解是近似解。数值法包括有限差分法、有限元法等。3.2简述分布型问题的求解方法？答：分布型问题是已知电荷或带电体的分布求场量的问题。计算方法有三种方法：高斯定理、电场强度、电位方法。计算时如果电场对称首先考虑高斯定理，其次是电位方法。3.3边值型问题是如何分类的？答：边值型问题是已知电场中所有不同媒质分界面(这里主要是指导体与电介质的分界面)上的边界条件（电位函数的变化率）或不同媒质分界面的电位，求解电场中场量问题。边值问题又分为三种类型。第一类边值问题（又称为狄里赫利问题）。是已知电场内部电荷的分布和给定不同分界面上的电位，即给定 求解电场中场量的问题。第二类边值问题（又称为诺埃曼问题）。是已知电场内部电荷的分布和所有导体表面上边界条件(实际上是已知导体上的面电荷密度)，即给定 求解电场中场量的问题。第三类边值问题(又称为混合型边值问题) 。是在已知电场内部电荷的分布下，已知一部分导体上的电位和另外一部分导体表面上电位函数的法向导数，即给定 和 求解电场中场量的问题。3.5长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上面盖板的电位为，求槽内的电位函数。解：根据题意，电位满足的边界条件为：根据条件1和2，电位的通解应取为由条件得所以 故得到槽内的电位分布：3.6简述镜像法的原理及其应用答：镜象法是用一个虚拟的带电体（点电荷或线电荷）代替实际场源电荷在导体上的感应出来的电荷，用来计算由原电荷和感应电荷共同产生的合成电场。这些虚拟的电荷称为镜象电荷。在使用镜像法时镜像电荷不能破坏原电荷和感应电荷产生的电场，边界条件保持不变，如果是两个平面还应该满足其夹角为，而n又为整数时，最后的镜象电荷才可能与原电荷重合在一起，即镜象电荷的总数为有限的（2n-1）个。题3.7图3.7一无限大导体平面折成90。角，角域内有一点电荷位于点，如图3.7题所示。用镜象法求角域内任意点的电位，电场强度及电荷所受力(标出镜象电荷的位置和数值)。解：三个镜象电荷坐标分别是：、 电位 电场强度 电荷所受力 3.8一个电荷量为，质量为的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面相距为。求的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡。解：将小带电体视为点电荷，导体平面上的感应电荷对的静电力等于镜像电荷对的作用力。根据镜像法可知，镜像电荷为，位于导体平面上方处，则小带电体受到的静电力为： 令的大小和重力相等，即 于是得到： 3.9一个点电荷放在60度的接地导体角域内的点（1，1，0）处。求：（1）所有镜像电荷的位置和大小；（2）点处的电位。解：（1） 题3-10图 （2）点处的电位3.10在一无限大导体平面上有一半径为a的导体半球凸起。如图题3-10所示，设在点 有一点电荷q，若用镜象法求解导体外部空间任一点的电位，试计算各个镜象电荷的位置和数值。解：利用镜象法计算各个镜象电荷的位置和数值如题3-4图所示，计算如下： 第4章 恒定电流的电场4.1电流是如何形成的？什么是直流电？什么是交流电？答：电荷在电场作用下的宏观定向运动就形成电流。不随时间变化的电流称为恒定电流(直流)。随时间变化的电流称为时变电流(交流)。4.2什么是恒定电流场？ 答：恒定电流产生的场，我们称为恒定电流场，它分为恒定电流的电场和恒定电流的磁场。4.3什么是传导电流？什么是电流？ 答：固态或液态导体(或统称为导电媒质)中的电流都称为传导电流。在真空或气体中，电荷在电场作用下的定向运动形成的电流，称为运流电流。4.4在恒定电场中传导电流密度与电场强度是什么关系？答：传导电流密度与电场强度成正比（电磁场中欧姆定理）即 4.7写出恒定电流电场的基本方程，表述它们的意义。答： 表明恒定电流的电场是一个无散场。 表明恒定电流的电场是一个无旋场。4.8什么是接地电阻？什么是绝缘电阻？如何计算？答：电气设备到大地之间的电阻，称为接地电阻。它包括接地线电阻，接地体电阻、接地体与土壤电阻和土壤电阻四部分。绝缘电阻是绝缘介质的漏电阻，它是绝缘介质两端的电压与介质中的漏电流的比值。计算绝缘电阻有有三种方法。 1公式法：利用公式 进行计算上式中的dl方向上的长度元，s是垂直于电流方向的面积，它可能是坐标变量的函数。2电场强度法：利用拉普拉斯方程求出电位再由 , , 求得电流强度I，然后由 求得绝缘电阻。当电极具有某种对称关系时，也可以假设一个由电极1通过绝缘材料到电极2的电流I后由 , ；计算电压，最后由R=U/I求得电阻R。3电容法：利用在相同的边界条件下，静电场和恒定电场的相似性，可以得出两导体间的电容和电导之间的关系，从电容可以算电导或从电导算出电容。 即 4.9如题4-9图所示，由导电媒质构成的扇形，厚度为，电导率为。求A、B之间的电阻。题4-9图解：设A、B间的电压为，则在导电媒质中有， 解得 ，代入边界条件，解得 ，可得 ， 因此，可得 第5章 恒定电流的磁场5.1简述安培力定理题5-2图答：在真空中有两个通有恒定电流I1和I2的细导线回路，它们的长度分别是l1和l2。通有电流I1的回路对通有电流I2 的回路的作用力F12是 5.2一个半径为a的圆线圈，通有电流I，求圆线圈轴线上任一点的磁感应强度B。解：根据电流的对称性，采用圆柱坐标系，坐标原点设在圆形线圈的圆心，Z轴与线圈轴线重合，场点P的坐标为 ，取一个电流元，源点坐标为 ,如题5-2图所示，则， 当z=0时，5.3简述洛仑兹力答：电荷以某一速度v在磁场运动，磁场对运动电荷有作用力，这种作用力称为洛仑兹力，洛仑兹力与运动电荷垂直。所以，他不作功，只改变运动电荷的方向，不改变运动电荷的速度。5.4 矢量磁位与磁感应强度的关系是什么？答：矢量磁位的旋度是磁感应强度5.5已知某一电流在空间产生的矢量磁位A，求磁感应强度B。（）解： =5.6 有一根长位2L的细直导线与柱坐标的z轴重合，导线的中心在坐标原点。设导线中通有电流I，方向沿z轴的方向。 1）求空间任一点 的矢量磁位A；2）求在z=0的平面上任一点的矢量磁位A。当2L 时，结果又如何？解：1）由于对称性，可以只讨论Z0的情况由矢量磁位方程得：题5-5图 在整条线段上积分得由 得 由图可知 （1）（2）在Z=0时，5.7什么是磁偶极子？答：如果观察距离R远远大于一个小圆形电流线圈的半径（半径为r），即Rr。我们称这个小圆形电流线圈为磁偶极子。5.8简述安培环路定理 题5-9图答：媒质中磁场强度H沿任一闭合路径的线积分(环量)等于这个闭合路径所交链的总传导电流。5.9设无限长同轴线的内导体半径是a(米)，外导体的内半径是b(米)，外导体的厚度忽略不计。并设导体的磁导率是0，内、外导体间充满磁导率是的均匀磁介质，如题5-9图所示。内、外导体分别通以大小都等于I但方向相反的电流，求各处的B和H。解：先求内导体中的磁场强度表示式。由式在内导体中取一半径为的圆形回路，它必与某一条H线相重合，并使积分路径沿着H线的方向。同时由于对称性，路径上的H是常量。另外，在恒定电流的情况下，导体截面上的Jf是常量。故上式变为 即得到 安/米 和 特 (0a) 采用同样的方法，可求得内外导体之间的磁场 安/米 特 (0b) 在1就称为这种媒质为良导体。良导体的电