二项分布的期望与方差的证明.doc

二项分布的期望与方差的证明二项分布是概率统计里面常见的分布，是指相互独立事件n次试验发生x次的概率分布，比较常见的例子。种子萌发试验，有n颗种子，每颗种子萌发的概率是p，发芽了x颗的概率就服从二项分布。 如果还是迷茫，就听我说说故事，在古代，大概明末清初的时候，瑞士有个家族，叫伯努利家族，出了很多数学家，有一位叫詹姆斯伯努利(James Bernoulli)的，比较喜欢做试验，他的试验有特点，是一系列的试验，没发生就是失败，而且每次的成功概率都是p，若果失败了就是q=(1-p)，只有这两种情况，后来人们给了这除了成功就是失败的性质一个比较抽象的名称，叫相互对立事件。在这些试验中，每次得出的结果与其他次试验都不发生关系，同样人们也给了这种不发生关系的性质一个比较抽象的名称，叫相互独立事件，同时把这种试验叫做伯努利试验。在n次伯努利试验中，发生x次的概率满足二项分布。 如果令q=(1-p)，那么很容易得出发生x次的概率为Cx，n*px*q(n-x)，因为决定该分布的只有n、p，所以为了简单起见，人们把x服从n，p的二项分布记做xB(n，p)。 现在的目标是计算二项分布的期望和方差，在网上寻找二项分布的期望和方差大都给一个结果，np、npq，很难找到它是怎么来的。好不容易查到，还是花钱才能看的，就那几步过程，有必要藏着盖着吗？今天我把过程写出来，让大家都了解了解，都是原创，互相学习，希望支持。 首先，不厌其烦地说一下期望与方差的关系，以便清晰思路。期望用E表示，方差用D表示，一般把自变量记做，如果对于结果为的概率为P那么，其期望为E=*P，方差为D=(E)2*P，另外还有一个常见的量叫做标准差，一般用表示，=D，根据方差的概念，可知：D=(E)2*P =(2E22*E)*P =(2*PE2*P2*P*E) =2*PE2*P2*E*P*因为P=1而且E=*P所以D=2*PE2而2*P，表示E(2)所以D=E(2)E2 下面计算数学期望,E=0，n*C，n*p*q(n-) =0，n*n!/!/(n-)!*p*q(n-) =1，nn!/(-1)!/(n-)!*p*q(n-) =n*p*=1，nC-1，n-1*p(-1)*q(n-) =n*p*(p+q)(n-1) =n*p 如果要计算方差，根据公式D=E(2)E2可得出结果，过程如下，D=E(2)E2 =0，n2*C，n*p*q(n-) n*p*=0，n*C，n*p*q(n-) =n*p*=1，n*(n-1)!/(-1)!/(n-)!*p(-1)*q(n-) n*p*=1，n*C，n*p*q(n-) =n*p*=1，np(-1)*q(n-)*(C-1，n-1C，nC，n*q) =n*p*=1，np(-1)*q(n-)*C，n*q(C，nC-1，n-1) =n*p*=1，np(-1)*q(n-)*C，n*q=1，n-1p(-1)*q(n-)*C，n-1 =n*p*=1，np(-1)*q(n-)*n!/(-1)!/(n-)!*q=1，n-1p(-1)*q(n-)*(n-1)!/(-1)!/(n-1-)!=n*p*=1，nn*q*C-1，n-1*p(-1)*q(n-)=1，n-1(n-1)*q*C-1，n-2*p(-1)*q(n-1) =n*p*n*q*(p+q)(n-1)(n-1)*q*(p+q)(n-2) =n*p*n*q(n-1)*q