[工学]电磁波第一章矢量分析.ppt

第一章 矢量分析,主 要 内 容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 6学时,0. 矢量及其运算 标量场和矢量场 矢量场的散度 矢量场的旋度 标量场的梯度 亥姆霍姿定理,1.0 矢量及其运算,直角坐标系 矢量表示 矢量代数 矢量微积分,直 角 坐 标 系,三变量 x y z 坐标表示 线元 面元 体积元,标量 一个只用它的大小就能完整的描述的物理量称为标量。如：时间、质量、温度、功、速率等。 矢量 一个有大小和方向的物理量称为矢量。如：力、速度、力矩等。,矢 量 表 示,几何法 代数表示,矢 量 表 示,单位矢量（unit vector）：,的模值：,方向余旋：,矢量加减法,矢 量 代 数,矢量乘积 数 乘 标量积,矢 量 代 数,标量积结论 单位矢量 交换率 分配率 两矢量垂直的充分必要条件：标量积等于零。,矢 量 代 数,矢量乘积 数 乘 标量积 矢量积,矢 量 代 数,矢量积结论 单位矢量 交换率 分配率： 两矢量平行的充分必要条件：矢量积等于零。,矢 量 代 数,矢量函数,矢 量 微 积 分,矢量函数的导数,对空间坐标的导数,矢 量 微 积 分,矢量函数的导数,对空间坐标的导数,对时间的导数,矢量函数的积分,1.1 矢量场和标量场,场的概念 标量场的等值线 矢量场的矢量线,场的概念,1.场的概念 任何物理过程总是在一定空间上发生，对应的物理量在空间区域按特定的规律分布。如： 电荷在其周围空间激发电场的分布 电流在周围空间激发磁场的分布 地球上太阳及其他原因激发温度的分布 在空间区域上每一点有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了该物理量的场,标量场：若所研究的物理量是标量，这样的场称为标量场。如温度场、密度场、电位场等； 矢量场：若所研究的物理量是矢量，这样的场称为矢量场。如速度场、引力场、电场、磁场等。,标量场与矢量场,台湾海峡表面海水盐度分布,福建省,台湾岛,场（field）是描述空间中所有点上的某一物理量的函数。 静态场 动态场 Static field Time-varying field 标量场 矢量场,静态场与动态场,等值面 空间内标量值相等的点的集合所形成的曲面。 等值面方程 u（x, y, z）= C （C 为任意常数）,标量场的等值面,矢量场的矢量线,为描述矢量场的方向和数值，除直接用矢量的数值和方向来表示矢量场外，还用矢量线来描述矢量场分布。,所谓矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向为该点矢量的方向。,矢量线是这样的一些曲线，线上每一点的切线方向都代表该点的矢量场的方向。,矢量线的意义,（矢量线的任一点的切向和平行）,矢量线方程：,1.2 矢量场的散度,通 量 散 度 高斯通量定理,矢量在场中某一个曲面上的面积分，称为该矢量场通过此曲面的通量。,通 量 flow of flux,通量可认为是穿过1S1面的矢量线的总数，故矢量线又叫通量线；模1F1等于在某点与1F1垂直的单位面积上通过的矢量线的数目1F1又称为通量面密度矢量。, 0 (有正源), 0 (有负源), = 0 (无源),通 量 flow of flux,通量是由1S1内的通量源决定，而通量是一个积分量，仅能说明较大范围内的源分布情况，而不能说明每一点的性质。引入散度概念。,散 度 divergence,定义：,散度是通量对体积的变化率（单位体积内所穿出的通量），所以散度又称为通量源密度。,计算：,散 度 divergence,哈密顿（Hamilton）算子 ,散度的物理意义,矢量的散度是一个标量，是空间坐标 点的函数； 散度代表矢量场的通量源的分布特性。, A= 0 (无源）, A= 0 (负源), A= 0 (正源),在矢量场中，若A=0，称之为有源场， 称为(通量)源密度；若矢量场中处处A=0，称之为无源场。,散 度 divergence,高斯通量定理,已知：,因为：,为,的体密度,所以：,因为：,为,的体密度,例1.2-1 点电荷位于坐标原点，在离其处产生的电通量密度为： 其中，,解,同理可得,所以,空间各点的D的散度均为0。,接 例1.2-1,所以,矢量场的环量 旋 度 斯托克斯定理,1.3 矢量场的旋度,旋涡,该环量表示绕线旋转趋势的大小。,水流沿平行于水管轴线方 向流动=0，无涡旋运动,流体做涡旋运动 0，有产生涡旋的源,环量 矢量F 沿空间有向闭合曲线L 的线积分,环 量 circulation,例：流速场,环量密度,过点P作一微小曲面S，它的边界曲线记为L，面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S点P时，存在极限,环量密度,取不同的路径，其环量密度不同。,旋 度 rotation,定 义,旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。,它与环量密度的关系为：,在直角坐标系下,旋 度 rotation,计 算,旋度的物理意义 1,旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数； 某点旋度的大小是该点环量密度的最 大值； 某点旋度的方向是该点最大环量密度 的方向； 在矢量场中，若 ,称之为 旋度场 (或涡旋场)，J 称为旋度源 (或涡旋源)； 若矢量场处处 称之为无旋场。,旋 度 rotation,旋 度 rotation,旋度的物理意义 2,扽,扽,斯托克斯定理 ( Stockes Theorem ),矢量函数的线积分与面积分的相互转化。,图 斯托克斯定理,斯托克斯定理,1.4 标量场的梯度,方向导数 梯 度,研究的是标量在某点沿某一方向的变化率问题(directional derivative)。,方 向 导 数,计算：,定义：,在这无穷多个方向中哪个方向的变化率最大？,定义：,梯 度 gradient,表明gradu在L方向上的投影正好等于函数u(x,y,z)在该方向上的方向导数，当gradu与L方向一致时，即： 方向导数: 。,梯 度 gradient,那么，梯度 gradu 就是 u(M) 变化率 最大的方向。,哈密顿（Hamilton）算子,梯 度 gradient,梯度的物理意义 1,标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标 点的函数； 梯度的大小为该点标量函数 的最大变 化率，即该点最大方向导数； 梯度的方向为该点最大方向导数的方向, 即与等值线（面）相垂直的方向，它指 向函数的增加方向。,梯 度 gradient,例1 三维高度场的梯度,例2 电位场的梯度,三维高度场的梯度,电位场的梯度,梯 度 gradient,梯度的物理意义 2,例1.4-1 求 在M0（1，0，1）点沿 的方向导数。,梯 度 gradient,解：,例1.4-2 求 在M0（2，-1，1）点沿 的方向导数。,梯 度 gradient,解：,或者：,1.5 亥姆霍兹定理,亥姆霍兹定理 矢量场的分类 亥姆霍兹定理的意义,亥姆霍兹定理,亥姆霍兹定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。,已知：,矢量场的分类,无旋场 或 无源场 或 有旋场有源场 对于一个既有源又有旋的矢量场，可以看认为是一个有旋无源场 和一个有源无旋场 的叠加；,以上两式的含义： 矢量场 是由场的源所引起的，已知了散度源 和旋度源 就可以唯一确定,续前,例 试判断下列各图中矢量场的性质。,亥姆霍兹定理的意义,亥姆霍兹定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。,从微分形式入手： 需研究其散度和旋度,从积分形式入手： 需研究其通量和环量,研究手段,梯度、散度与旋度小结,梯度 结果为矢量 方向导数 散度 结果为标量 通量 高斯定理 旋度 结果为矢量 环量 斯托克斯定理,本章作业： 1-11-2 1-41-5 1-71-9,尝试思考： 1-3、1-6,第一