概率论与数理统计——第一章.ppt

1,1.2 随机事件的概率 1. 频率与概率 2. 古典概型 3. 几何概率 4. 概率的公理化定义,2,就随机现象而言，仅仅知道可能发生哪些事件是不够的，更重要的是对事件发生的可能性做出定量的描述。,3,对于一个随机事件(必然事件和不可能事件除外)来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生。 我们希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性究竟有多大，找到一个合适的数来表示事件在一次试验中发生的可能性大小。,定义:随机事件A发生可能性大小的度量(数值)，称为事件A发生的概率，记作P(A).,4,定义:在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数m次，m称为事件A发生的频数。比值m/n称为事件A发生的频率，并记为fn(A),1. 频率与概率,5,频率具有下述性质: （1）0fn(A)1; （2）fn( )=1; （3）若A1,A2,Ak是两两互不相容的事件，则,6,我们知道，频率fn(A) 越大（或小），事件A发生的可能性就越大（或小），即A的概率就越大（或小）。 可见，频率是概率的一个很好反映。 但是，频率却不能因此作为概率，因为概率应当是一个确定的量，不应象频率那样随试验次数的变化而变化。,7,即使这样，频率还是可以作为概率的一个估计，而且是一个有客观依据的估计，这个依据就是所谓的频率稳定性：当试验或观察次数n较大时，事件A发生的频率会在某个确定的常数p附近摆动，并渐趋稳定。 这是人们通过长期研究和观察总结得出的结果，在一定程度上揭示了事件发生的统计规律性.,8,历史上抛掷匀质硬币的若干结果,例,9,频率的稳定性说明随机事件出现的可能性大小是事件本身固有的一种客观属性，因而可以度量它，我们用频率的稳定值作为事件发生可能性大小的度量指标。,10,在大量重复试验中， 如果事件 A 发生的频率fn(A)稳定地在某一数值p的附近摆动，则称p为随机事件A发生的概率，记作P(A)p,概率的统计定义,11,概率的统计定义也提供了一个近似计算概率的方法:,当试验次数n较大时有:,事件A发生 的概 率,事件A发生 的频 率,12,即当试验次数n充分大时，就常把事件A的频率作为事件A的概率的“近似值”（或“估值”） 比如：合格率，废品率，出生率，升学率，死亡率等等，都是频率。,优点： 直观，易懂,缺点： 建立在经验基础上 语言描述模糊，不准确 需要大量的试验观测统计， 可操作性较差,13,通过大量的重复试验，用频率来估计事件的概率，虽然提供了近似计算事件概率的一般方法，但繁琐又不经济，有时甚至是行不通的。 而对于一些特殊的随机试验，概率可用较简单的方法求得，下面介绍最早出现的一类概率问题,2. 古典概型,14,在概率论发展的初期主要研究具有如下两个特点的随机试验: (1)试验的样本空间中的样本点只有有限个，即基本事件的总数有限（有限性）; (2)在每一次试验中，每个基本事件发生的可能性相同（等可能性）. 具有以上两个特点的随机试验称为古典概型,15,16,设试验结果共由n个基本事件组成，并且这些事件发生的可能性相同，而事件A由其中的m个基本事件组成，则事件A发生的概率是:,概率的古典定义,17,例: 抛掷一颗匀质骰子，观察出现的点数，求出现的点数是不小于3的偶数的概率.,解 设A表示出现的点数是大小于3的偶数，则基本事件总数n=6，A包含的基本事件是“出现4点”和“出现6点”，即m=2，故,18,例：盒中装有3个白球，2个黑球，从中任取一个，问：取到白球的概率是多少？ 解 从盒中任取一个球，由于是“任取”，故5个球被取到的机会一样，即每一个基本事件发生的可能性相等则该试验的基本事件总数n =5 设A=取到的是白球，则A包含的基本事件个数m =3，于是由古典概率的计算公式，有,19,例：有100件商品，其中97件是合格品，从中任取2 件进行检验，求： （1）两件都是次品的概率； （2）一件是次品，一件是正品的概率 解 从100件中任取两件，共有 个不同的取法，每种取法看成一个基本事件，而且每一个结果发生的可能性大小相等，则基本事 件总数为n= （1）设A=取出的两件产品都是次品，则事件A所包含的基本事件个数为 m=,20,于是，由古典概率的计算公式有:,(2) 设B= 取出的两件产品一件是次品，一件是正品，则事件B 所包含的基本事件个数为m=,于是, 由古典概率的计算公式,21,例：有100件商品，其中97件是合格品现有放回地一件一件地取，共取2件进行检验， 求：（1）两件都是次品的概率； （2）一件是次品，一件是正品的概率 解 （1）从100件中一件一件有放回地取，第一次有100种不同的取法，第二次也有100种不同的取法，根据乘法原理，基本事件总数为 n=1002。 设A=取出的两件产品都是次品的概率，若事件A发生，则第一次有3种不同的取法，第二次也有3种不同的取法，故事件A所包含的基本事件个数为m=32 ,22,于是，由古典概率的计算公式,（2）设B=取出的两件产品一件是次品，一件是正品，事件B发生是由“第一次取次品，第二次取正品”与“第一次取正品，第二次取次品”组成，而“第一次取次品，第二次取正品”共有397 种不同的取法.而“第一次取正品，第二次取次品”共有 973种不同的取法，故事件B所包含的基本事件个数为 m= 397 973,23,于是，由古典概率的计算公式,从以上几个例子的计算可知，求古典概率常常用到排列组合数的计算公式,24,设样本空间为一有界几何体，事件A包含于，用m表示几何体的测度。,3. 几何概率,注: 当几何体为一线段时，测度为长度；当几何体为平面上的某一区域时，测度为面积；当几何体为空间的某一区域时，测度为体积。,25,定义：如果试验E的可能结果可以几何地表示为某区域中的一个点（区域 可以是一维的，二维的，三维的，），并且点落在中某区域A的概率与A的测度m(A)成正比，而与A的位置及形状无关，则随机点落在区域A的概率为 P(A)=m(A)/m()=A的测度/ 的测度 这一类概率通常称作几何概率,26,解 以x,y分别表示甲乙两人到达的时刻， 那末 0xT, 0yT. 若以x,y表示平面上点的坐标，则：,例 (会面问题)甲，乙两人相约在0到T这段时间内, 在预定地点会面。 先到的人等候另一个人， 经过时间t ( tT )后离去。 设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的， 且两人到达的时刻互不牵连。 求甲、乙两人能会面的概率。,（1）所有基本事件可以用一边长为T正方形内所有点表示.,（2）两人能会面的条件是 |x-y|t .,27,由等可能性知，所求概率为,28,4. 概率的公理化定义,前面我们给出了几种随机事件的概率，并计算了一些事件的概率，但每种概率都有其局限性。 古典概型和几何概率的假设前提是等可能性；统计概率在实际中无法知道n应取多大。 前苏联数学家在总结前人的基础上于1933年给出了概率的公理化定义，简述