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,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,二重积分,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,三重积分,一、主要内容,1、二重积分的定义,、二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,性质,当 为常数时，,性质,、二重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积,性质,若在D上，,特殊地,性质,性质,（二重积分中值定理）,、二重积分的计算,X型,X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,（）直角坐标系下,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型,（）极坐标系下,5、三重积分的定义,6、三重积分的几何意义,7、三重积分的性质,类似于二重积分的性质,8、三重积分的计算,() 直角坐标,() 柱面坐标,9、重积分的应用,(1) 体积,设S曲面的方程为：,曲面S的面积为,(2) 曲面面积,当薄片是均匀的，重心称为形心.,(3) 重心,当物体是均匀的，重心称为形心.,薄片对于x轴的转动惯量,薄片对于y轴的转动惯量,(4) 转动惯量,薄片对 轴上单位质点的引力,为引力常数,(5) 引力,二、典型例题,例1,解,X-型,例2,解,先去掉绝对值符号，如图,例3,解,例4,解,例5,证,例6. 计算三重积分,其中是两个,的公共部分.,及,提示: 由于被积函数缺 x , y ,原式 =,利用“先二后一” 计算方便 .,球,例7.计算三重积分,其中是由 xoy,平面上曲线,所围成的闭区域。,提示：利用柱坐标,原式,绕 x 轴旋转而成的曲面与平面,例8. 计算二重积分,其中,(1) D为圆域,(2) D由直线,解: (1) 利用对称性,围成 .,(2) 积分域如图,将D 分为,添加辅助线,例8. 计算二重
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