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第八节 多元函数的极值及其求法,一、问题的提出 二、多元函数的极值和最值 三、条件极值拉格朗日乘数法 四、小结,实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,每天的收益为,求最大收益即为求二元函数的最大值.,一、问题的提出,二、多元函数的极值和最值,1、定义,(1),(2),(3),例1,例,例,2、多元函数取得极值的条件,证,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,解,求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,3、多元函数的最值,解,如图,解,由,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,三、条件极值拉格朗日乘数法,先看最简单的情形求函数,（目标函数),在约束条件,（约束方程）,分析一下函数,在点,下的条件极值，,取得条件极值,的必要条件。,因为,是条件极值点，所以有,设函数,都在点,的某个邻域内具有,连续的偏导数，并且,。由隐函数存在定理,可知，方程,确定了一个具有连续导数的函数,，把它代入目标函数后就得到,由于,在,处取得条件极值，这就相当于求函数,在,处取得极值，由一元可导函数取得极值,必要条件可知，必有,而由隐函数求导公式，有,，将其代入上式,就得,上两式就是函数,在点,取得条件极值,的必要条件,若记,则上述必要条件就可写成,由以上分析结果，引入拉格朗日函数,其中参数,叫做拉格朗日乘子。,条件极值：对自变量有附加条件的极值,解,则,多元函数的极值,拉格朗日乘数法,（取得极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,四、小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和
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