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文档简介
1,3.1 典型随机过程 3.2 随机信号通过线性系统分析 3.3 白噪声通过线性系统 3.4 随机序列通过离散线性系统,3 平稳随机信号通过线性系统,3.1 典型的随机过程,1、白噪声,白噪声的功率谱密度和自相关函数,平稳白噪声功率谱密度:,白噪声样本函数波形,白噪声相关系数:,2、正态随机过程,如果一个随机过程X(t)的任意n维分布都服从正态分布, 则称该随机过程为正态随机过程。,一维分布,特征函数,设X(t)是正态随机过程,若有 则X(t)称为广义平稳正态过程。,平稳正态过程,性质:,对于正态随机过程而言,广义平稳与严格平稳等价; 不相关与独立等价;,一般平稳正态噪声与信号之和为非平稳的正态过程。,若平稳正态过程具有均匀的功率谱密度,则称此 过程为平稳正态白噪声。满足,例1、设随机过程 , 其中A、B是两个独立的正态随机变量,且有 , , 为常数,求此过程的一维概率密度。,例2、一零均值高斯过程X(t),其协方差函数为: 求在时刻t1=0、t2=1、t3=2抽样的三维概率密度。,3.2 随机信号通过线性系统分析 微分方程法; 冲击响应法; 频谱法; 3.3 白噪声通过线性系统,1、 冲激响应法,h(t),X(t),Y(t),若X(t)平稳,均值,系统的输出,互相关函数,若X(t)平稳,当输入X(t)为白噪声,系统的输出,系统h(t),X(t),互相关函数 测量,系统辨识结构图,自相关函数,若X(t)平稳,输入输出相关函数关系图,平稳情况,2频谱法,输入输出相关函数关系图,3 平稳性讨论 (1)若输入X(t)平稳,h(t)在(-,+ )存在,则输出Y(t)平稳,且与X(t)联合平稳; (2)对于物理可实现系统,即当t0时,h(t)=0, 且假定输入X(t)平稳。 若输入从-加入(双侧随机信号),结论:输出平稳,若X(t)遍历,则Y(t)遍历,若输入从t=0时加入,(单侧随机信号),结论:输出不平稳,例1 如图所示的RC电路,输入为零均值的平稳随机过程, 且相关函数为 求输出Y(t)的自相关函数。,思考题: 相互独立的随机电压信号X1(t)和X2(t)施加于 RC网络。电路中电阻无噪,已知 求系统输出的自相关函数和功率谱密度。,3.3 白噪声通过线性系统 白噪声通过积分系统,相关函数:,功率谱密度:,相关时间:,白噪声通过微分系统,功率谱密度:,相关函数:,白噪声通过理想低通系统,|H()|,K0,-,相关函数:,输出功率:,输出功率谱:,理想低通随机过程的自相关函数,理想低通随机信号:,相关时间:,相关系数:,白噪声通过高斯型带通系统,0,输出功率谱:,相关函数:,输出功率:,高斯型带通随机过程的自相关函数,参量正比与系统带宽,故相关时间与反比。,相关时间:,相关系数:,3.4 随机序列通过离散线性系统 等效噪声带宽 随机序列通过离散线性系统 时间序列模型,1: 噪声等效通能带(等效噪声带宽),0,等效原则:理想系统与实际系统在同一白噪声激励下, 两个系统的输出平均功率相等,且理想系统的增益为 实际系统的最大增益。,对于可实现系统,由帕斯瓦尔定理:,对于带通系统,离散系统,可实现系统,低通,性质: (1)噪声等效通能带只由线性系统特性确定;,(3)当线性系统的形式及级数确定后,噪声等效通能带 与3dB带宽有确定关系,级数越高,两者越接近。,例1 低通滤波器的单位冲激响应为 求系统噪声等效通能带。,例2离散时间系统的差分方程为 求系统噪声等效通能带。,2: 随机序列通过离散线性系统,系统输出,系统描述,均值:,若X(n)平稳:,相关函数:,若X(n)平稳:,功率谱密度:,若用z变换表示,则,例3:设一个平稳随机序列X(n)的自相关函数为 ,线性系统的单位冲激响应是 求输出Y(n)的自相关函数及功率谱密度。,3: 常用时间序列模型,式中X(n)为零均值、方差为2的平稳白噪声,模型称为自回归滑动平均模型,用ARMA(N,r)表示。,1、时间序列模型 许多随机序列可以看成是典型的白噪声序列激励一个线性 系统所产生的,一般表示式为:,当系数 均为零时,,模型称为自回归模型(Autoregressive),用AR(N)表示。,,若模型系数多项式,的根全在单位圆内,即其根的模都小于1,则AR(N)模型 是平稳的。,当系数 均为零时,,模型称为滑动平均模型(Moving Average),用MA(r)表示。,,若模型系数多项式,的根全在单位圆内,即其根的模都小于1,则MA(r)模型 是可逆的。,例4 设有如下差分方程描述的离散线性系统, X(n)=aX(n-1)+W(n) 系统如图所示,其中W(n)为平稳白噪声,方差为2,模型所产生的随机过程称为AR过程,求一阶AR过程的自相关函数和功率谱。,例5:设有如下差分方程
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