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文档简介

3.3 二维随机变量函数的分布,一、离散型 二、连续型（和的分布）,下页,例1已知(X,Y) 的联合分布律,-1, 0, 2, 3, 5, 且,求 Z = X+Y的概率分布.,解： Z = X + Y 的所有可能取值为,PZ= -1=PX+Y= -1=PX= -1,Y=0=1/10 ,PZ= 0=PX+Y=0=PX= -1,Y=1=1/20 ,PZ= 2=PX+Y=2=PX= -1,Y=3+PX=2,Y=0= 3/20+3/10 ,下页,一、离散型,同理， PZ= 3= 0， PZ= 5= 4/20 .,所求分布律为,例2. 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为l1与 l2 的Possion分布，令Z=X+Y，试求Z的分布律.,解：由随机变量X与Y的取值都是 0,1,2, 可知Z=X+Y的 取值也是 0,1,2, 对于n= 0,1,2, 有,即 Z=X+Y服从参数为 l1+l2的Possion分布.,下页,由对称性可得,下页,二、连续型,问题：设(X,Y)的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度fZ(z).,根据分布函数定义有,对z求导，得Z的概率密度fZ(z)为,下页,问题：设(X,Y)的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度fZ(z).,Z的概率密度fZ(z)为,二、连续型,卷积公式,若X, Y相互独立，则 f(x,y) =fX(x) fY(y)，代入上式得,例3设X和Y是两个互相独立的随机变量，且XN(0,1), YN(0,1)，求Z=X+Y的概率密度.,解：由于X,Y互相独立，由卷积公式得,下页,卷积公式,从而有，Z=X+YN(0,2) .,例 4.,解:,下页,下页,下页,方法小结： 确定联合密度非零时的积分变量的定义域： 确定fX(x), fY(z-x)各自的非零域A和B； A和B的交集即为所求. 确定积分变量的积分限： 将A和B的交集映射成平面坐标系中的区域； 根据(变常数)z的变化，确定x的变化范围.,记忆要点： 困难不是难计算，关键确定积分限； 边缘密度非零域，交集映射便可见.,例5.,解:,下页,下页,解：用分布函数法,例6.设X,Y相互独立 , fX(x)和fY(y)如下, 求Z=X+Y的密度函数.,现考虑f(x,y)0的区域与x+y z的取值，分四种情况计算.,当z0时，Fz(z)=0；,当z2时，Fz(z)=1；,下页,当0z1时，,现考虑f(x,y)0的区域与x+y z的取值，分四种情况计算.,当1z2时，,下页,解：用分布函数法,例6.设X,Y相互独立 , fX(x)和fY(y)如下, 求Z=X+Y的密度函数.,所以，,现考虑f(x,y)0的区域与x+y z的取值，分四种情况计算.,下页,解：用分布函数法,例6.设X,Y相互独立 , fX(x)和fY(y)如下, 求Z=X+Y的密度函数.,作业： 80页 18,补充题：设X,Y相互独立，fX(x)和fY(y)如下，用卷积公式求Z=X+Y
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