广工管理运筹学第八章图与网络分析.pptVIP

第八章 图与网络分析,引例,哥尼斯堡七桥问题,环球旅行问题：,环球旅行问题的解,另一个著名的问题: 中国邮路问题,第1节 图与网络的基本知识,图可以用来做什么： 管理当中，事物及事物间的联系可以用图来描述,五只球队的比赛情况,工作分配问题,图已经应用于物质结构、交通、信息传递等的描述,图与网络的基本概念（1）,图：这里讨论的图由点以及点与点间的连线构成，与平面几何的图不同，这里只关心图中有多少个点，点与点间有无连线，至于点与点间的连线是直线还是曲线，点的相对位置，则是无关紧要的。,图与网络的基本概念（2）,定义1 一个图是由点集V=vi和V中的元素的无序对的一个集合E=ek所构成的二元组，记为G=(V, E)，V中的元素vi叫做顶点，E中的元素ek叫做边,V=v1,v2,v3,v4,v5 E=e1,e2,e3,e4,e5,e6,e1=(v1,v1), e2=(v1,v2),例,图与网络的基本概念（3）,相邻：图中的两点间存在连线（边），则称这两点相邻，并称它们是这条边的端点；若两条边有公共的端点，则称这两条边相邻，并称它们是其公共端点的关联边。,边数：m(G)=|E| 顶点数：n(G)=|V|,图与网络的基本概念（4）,无向边与无向图：若图中任一条边的端点无序，即(vi, vj)与(vj, vi)是同一条边，则称它为无向边，此时图称为无向图。 有向图：若图中边(vi, vj)的端点是有序的，则称它是有向边（或弧），vi与vj分别称为这条有向边的始点和终点，相应的图称为有向图。,图与网络的基本概念（5）,v2,v1,v5,v3,v4,e2,e1,e3,e4,e5,e6,环(自回路),多重边,定义2 不含环和多重边的图称为简单图。含多重边的图称为多重图。,图与网络的基本概念（6）,定义3 每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为无向完全图；有向完全图是指每一对顶点间有且仅有一条有向边的简单图。 完全图顶点数n与边数m间成立如下关系: m=n(n-1)/2,图与网络的基本概念（7）,定义4 图G=(V, E)的点集V可以分为两个非空子集X，Y，即X Y =V，X Y=，使得E中的每条边的两个端点中必有一个属于X，另一个属于Y，则称G为二部图（偶图），有时记为G=(X, Y, E),图与网络的基本概念（8）,定义5 以v为端点的边数，叫做点v的次(degree)，记作deg(v), 或简记为d(v)。,d(v1)=4,d(v2)=3,悬挂点,孤立点,悬挂边,偶点,奇点,图中顶点次的性质,定理1 任何图中顶点次数的总和等于边数的2倍。 定理2 任何图中次为奇数的顶点必有偶数个。,定义6 在有向图中，以顶点v为始点的边数称为顶点v的出次，记为d+(v)；以v为终点的边数称为v的入次，记为d-(v)。顶点v的出次与入次的和称为点v的次。,图与网络的基本概念（9）,定义7 图G=(V, E), 若E是E的子集，若V是V的子集，且E中的边仅与V中的顶点相关联，则称G = (V, E)为图G的一个子图，特别地，若V =V, 则称G为G的一个生成子图（支撑子图）。,图与网络的基本概念（10）,有时需要用图来表示事物及事物之间的定量的联系，这时图中除了顶点与边外，还有与点或边有关的某些数量指标，常称它们为“权”，权在图中可以表示距离、费用、通过能力等。这种点或边带权的图称为网络（或赋权图）,连通图（1）,定义8 无向图中一个点、边交错的序列，序列中的第一个和最后一个元素都是点，若其中每条边以序列中位于它之前和之后的点为端点，则称这个点边序列为图中连接其第一个点与最后一个点的链。链中所含的边数称为链长。,链，但只是简单链而非初等链,简单链：没有重复边；初等链：既无重复边也无重复点。对有向图可类似定义链，如果各边的方向一致，则称为道路。,连通图（2）,定义9 若在无向图中，一条链的第一个点与最后一个点重合，则称这条链为圈。只有重复点而无重复边的圈为简单圈，既无重复点又无重复边的圈为初等圈。,初等圈,非简单的圈,连通图（3）,道路(边的方向一致),不是道路,连通图（4）,定义10 一个图中任意两点间至少有一条链相连，则称此图为连通图。任何一个不连通图总可以分为若干个连通子图，每一个称为原图的一个分图（连通分支）。,连通图,非连通图,图的矩阵表示邻接矩阵,对于图G=(V, E), |V|=n, 构造一个矩阵A=(aij)nn, 其中：,图的矩阵表示权矩阵,对于网络（赋权图）G=(V, E), |V|=n, 其中边(vi, vj)上有权wij，构造一个矩阵A=(aij)nn, 其中：,欧拉回路（1）,定义13 连通图G中，若存在一条道路，经过每边一次且仅一次，则称这条道路为欧拉道路。若存在一条回路经过每边一次也仅一次，则称这条回路为欧拉回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图（E图）。,定理3 无向连通图G是欧拉图，当且仅当G中无奇点,欧拉回路（2）,推论1 无向连通图G为欧拉图，当且仅当G的边集可以划分为若干个初等回路。 推论2 无向连通图G中有欧拉道路，当且仅当G中恰好有两个奇点。,哥尼斯堡七桥问题无解,一笔画问题,欧拉回路（3）,定理4 连通有向图G是欧拉图，当且仅当它的每个顶点的出次等于入次。 连通有向图G有欧拉道路，当且仅当这个图中除了两个顶点外，其余每个顶点的出次等于入次，且这两个顶点中，一个顶点的入次比出次多1，另一个的入次比出次少1。,中国邮路问题,一个邮递员，负责某一地区的信件投递，他每天要走邮局出发，走遍该地区所有街道，再返回邮局，问应如何安排送信的路线可以使所走的总路程最短？ 用图论的语言描述就是：给定一个连通图G，每边有非负权l(e)，要求一条回路过每边至少一次，且满足总权最小。,中国邮路问题解法（1）,若G是欧拉图，则按欧拉回路走，就是满足要求的经过每边至少一次且总权最小的走法。,若G中有奇点，则G不是欧拉图，因此要连续地走过每边至少一次，则必然有某些边不止一次走过。这相当于在G中添加一些重复的边，使得到的新图G*没有奇点且满足总路程最短。,中国邮路问题解法（2）,对增加了重复边后得到的新图G*，很明显其总权的大小取决于增加的重复边权的大小。因此中国邮路问题转化为如下问题： 在连通图G=(V, E)中，求一个边的集合E1E，将E1中所有边都变成重复边得到新图G*，使得G*中无奇点，且 最小,中国邮路问题解法（3）,上述问题的解决依赖于以下结果： 定理5 已知图G*=G+E1无奇点，则 最小的充分必要条件为： （1）每条边最多重复一次； （2）对图G中的每个初等圈来说，重复边的长度不超过圈长的一半。,中国邮路问题解法（4）,下面直观地说明，若定理5的条件不成立，则可以得到总权比E1的更小的重复边集。,重复两次或以上的去掉其中两条,将原来的重复边变成非重复边，原来的非重复边变成重复边,中国邮路问题解法（5）,解法第一步：确定初始可行方案。若图中没有奇点，则它已经是欧拉图，按欧拉回路走即可。否则，若有奇点，奇点必有偶数个，将奇点两两配对，然后找出每对奇点间的一条道路，,将此道路中的每条边都变成重复边。,中国邮路问题解法（6）,第二步：调整可行方案。使重复边最多重复一次,中国邮路问题解法（7）,第三步：检查图中每个初等圈是否满足定理条件（2），若不满足则进行调整。,第三步要求检查每个初等圈，这一步可能是相当繁琐的。例如上例中的图就包括下图所示的初等圈。,树树的概念,定义14 连通且不含圈的无向图称为树。树中次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点。,树树的性质,定理6 T=(V, E), |V|=n, |E|=m, 则下列关于树的说法是等价的。 （1）T是一个树（即T是不含圈的连通图）,树树的性质,（2）T无圈，且m=n-1,树树的性质,（3）T连通，且m=n-1,树树的性质,（4）T无圈，但每加一新边就得到唯一的一个圈,T是边数最多的无圈图,树树的性质,（5）T连通，但任舍去一边就不连通,T是边数最少的连通图,树树的性质,（6）T中任意两点有唯一一条链相连,生成树概念,定义15 若图G的生成子图是一棵树，则称该树为图G的生成树（支撑树），或简称为图G的树。,定理7 图G有生成树的充分必要条件是图G是连通的,生成树解法（1）,避圈法,这种方法是每步从连通图中选出一条边，使得它与已经选出的边不构成圈，直到选够n-1条边为止。,一个图的生成树不是唯一的。,避圈法的另一种表述,先去掉图G中所有边，只留下点，每次任意放回一条边，使之与已经放回的边不构成圈，反复进行，直到有（n-1）条边为止。,5个顶点， 4条边,生成树解法（2）,破圈法,这种方法是每步从连通图中选一个圈，并去掉该圈的一条边，直到图中不含圈为止。,另一种解法,最小生成树概念,定义16 连通图G=(V, E), 每条边上有非负权L(e)，一棵生成树上各边的权之和，称为这棵生成树的权，具有最小权的生成树，称为最小生成树（最小支撑树），简称最小树。,例如 如何用造价最省的电话线网将各有关单位连起来的问题，就归结为求最小生成树的问题。,3,5,4,3,6,7,1,2,4,非最小树,最小生成树解法1（Kruskal算法）,避圈法： 这种方法每步从图中挑选一条边，满足：（1）它与已经选出的边不构成圈；（2）它是满足条件（1）的权最小的边，直到选够n-1条边为止。,9个顶点，8条边,避圈法另一种表述,先去掉图G的所有边，只留下顶点，每次放回一条权最小的边，使之与已经放回的边不构成圈，反复进行，直到有（n-1）条边为止。,9,4,8,2,3,3,3,7,9,1,4,2,3,3,1,6个顶点，5条边,最小生成树解法（2）,破圈法： 这种方法每步从图中任选一个圈，然后去掉该圈中权最大的边，直到图中没有圈为止。,1,4,1,2,1,3,1,4,4,5,5,3,2,4,5,2,9个顶点，8条边,破圈法举例,9,4,8,2,3,3,3,7,9,1,9,4,8,2,3,3,3,7,9,1,6个顶点，5条边,破圈法举例,最小生成树的权= 9,/,/,/,/,根树,定义17 若一个有向图在不考虑边的方向时是一颗树，则称这个图是有向树。,定义18 若有向树T恰有一个顶点的入次为0，其余顶点的入次为1，则称T为根树,叶,根,分枝点,根树的应用,根树常用来表示指挥系统上下级的隶属关系，系统的分类、溯源与继承等关系。如管理系统的组织结构，家族谱系，计算机文件目录结构，数据结构等等。,二叉树,定义19 在根树中，若每个顶点的出次小于或等于m，称这棵树为m叉树。若每个顶点的出次恰好等于m或0，则称它为完全m叉树。当上述的m=2时，该树分别称为二叉树、完全二叉树。,三叉树,完全二叉树,最优二叉树（霍夫曼树）,实际问题中常需用到叶子上带权的二叉树，如信息处理中的最优检索、数据结构等问题。 令有s个叶子的二叉树T各个叶子的权分别为pi，根到各叶子的距离（层次，即根到叶子的边数）为li (i=1, 2, , s)，则二叉树的总权数为 满足总权最小的二叉树称为最优二叉树，也称为霍夫曼树。,霍夫曼算法,步骤： （1）将s个叶子按权由小到大排列，不失一般性，设p1p2 ps （2）将二个具有最小权的叶子合并成一个分枝点。然后令ss-1, 若s=1停止，否则转（1）。,例 s=6，权分别为4, 3, 3, 2, 2, 1. 构造最小二叉树。 按霍夫曼算法构造最优二叉树如下：,总权为：14+2 4+2 3+4 2+3 2+3 2=38,例 最优检索（p270）,15,30,50,100,Y,Y,Y,Y,N,N,N,N,最优二叉树,最优检索流程,m（T*）= 54 + 10 4 + 15 3 + 20 2 + 50 1 = 195,最短路问题,最短路问题是网络理论中应用最广泛的问题之一，许多优化问题，如设备更新、管道铺设、线路安排等都可以化为最短路问题求解。 最短路问题的提法：设G=(V, E)为连通图，图中的各边(vi, vj)有非负权lij (lij=表示vi, vj间无边), vs, vt是图中任意两点，求一条道路，使它是从vs到vt的所有道路中总权最小的道路。,Dijkstra算法,原理：若(vs, v1, , vn-1, vn)是vs到vn的最短路，则(vs, v1, , vn-1)是vs到vn-1的最短路。 思路：采用标号法。使用两种标号，T标号和P标号，一个点的P标号是永久性标号，表示起点到该点最短路的权，它一旦给出就不再改变；而点的T标号是临时性的标号，表示对起点到该点最短路的权的估计值，当得到更精确的估计值时要修改原来的T标号，此外算法的每一步要把某一个点的T标号改成P标号，当得到终点vt的P标号时算法结束。,Dijkstra算法步骤,第一步：给vs点P标号P(vs )=0, 其余点T标号T(vi)=+ 第二步：若vi为刚获得P标号的点，则修改以vi为起点的各边终点的T标号为下两个数中的较小者：一个是vi的P标号与该边权之和，另一个是该终点原来的T标号。 第三步：取所有具有T标号的点中T标号值最小的点，将其T标号改为P标号。若本次得到P标号的点为终点，算法终止，否则返回上一步。,例（p251）,给起点P标号0，其余点T标号（在下面的求解过程中，粉色的数字为P标号）,修改以刚获得P标号的点为起点的边的终点的T标号；然后将最小的T标号改成P标号,4,6,5,4,4,7,7,9,6,5,5,4,1,0,4,9,6,8,最短路线见图,v1,v2,v3,v4,v6,v5,v7,v8,3,8,4,2,2,4,3,3,1,2,3,3,4,0,T(v2)=min(,0+4)=4, T(v3)=min(,0+8)=8 黄色数字表示P标号,最短路问题举例,v1,v2,v3,v4,v6,v5,v7,v8,3,8,4,2,2,4,3,3,1,2,3,3,4,0,4,8,比较所有的T标号，4最小。所以P（v2）=4,4,从v2出发，到v4,v5。 T(v4)=min(,4+3)=7, T(v5)=min(,4+4)=8,7,8,v1,v2,v3,v4,v6,v5,v7,v8,3,8,4,2,2,4,3,3,1,2,3,3,4,0,4,8,比较所有的T标号，7最小。所以P（v4）=7,4,从v4出发，到v6。 T(v6)=min(,7+3)