清华第五版数值分析第1章课件

数 值 分 析 Numerical Analysis,主讲教师：成燕 EMAIL: ,教材 数值分析 李庆扬、易大义、王能超 编,参考书目 数值计算方法 冯康等编 Numerical Analysis (Seventh Edition) 数值分析 （第七版 影印版） Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）,二 教师有关教学过程的一些想法：,教学过程是师生间的一种双边活动，它是一种特殊的认识过程（所讨论的知识对教师而言是已知的,而对学员来说是未知的）。在这过程中，我的想法是： 在讨论数值分析基本理论与方法的过程中, 学员要向会学习、会思考、会研究、会创造、会应用的目标靠拢。 在教学活动中，讲授的重点在思路、方法与培养能力上。 希望学员能以积极、主动的姿态参与到教学活动中,将教学过程变成研究、创造与培养能力的过程。 不要迷信书本与教师，要敢于怀疑，敢于研究，敢于创造。,提问：数值分析是做什么用的？,数学 建模,构造 算法,程序 设计,上机计算求出结果,实际问题,提问：数值分析是做什么用的？,2019/5/16,5,研究使用计算机求解各种数学问题的数值方法，(要求方法能在计算机上实行，计算机只能做加减乘除和逻辑运算)对求得解的精度进行评估，以及如何在计算机上实现求解,方法可行性分析包含以下内容：,2019/5/16,6,1.计算速度。 例如,求解一个20 阶线性方 程组,用消元法需3000 次乘法运算;而用克莱姆法则要进行20107 . 9 次运算,如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。 2.存储量。 大型问题有必要考虑。 3.精度。,第一章 绪 论,1.1 数值分析的对象、作用与特点,一、研究对象,数值分析也称计算方法. 它根椐实际问题的数学模型提出求解问题的数值计算方法 .,二、学科特点,利用MATLAB等软件在计算机上实现数值计算，解决实际问题.,三、实际应用,1.2 数值计算的误差,1.2.1. 误差来源与分类,从实际问题中抽象出数学模型 模型误差,通过测量得到模型中参数的值 观测误差,求(数学表达的)近似解 方法误差 (截断误差) 模型的准确解与用数值方法求得的准确解之差称为“截断误差”。,机器字长有限 舍入误差,简化,实际算法: 有限、四则运算化,（理论计算误差）,来源一 : 模型误差,模型误差:在建立数学模型过程中,不可能将所有因素均考虑,必然要进行必要的简化,这就带来了与实际问题的误差。,2019/5/16,9,来源二: 观测误差,测量工具精度与测量方法限制,2019/5/16,10,来源三:方法误差（截断误差),计算方法本身的原因,2019/5/16, Wuhan University Confidential,11,若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式, 由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差,来源四: 舍入误差,计算机长有限,2019/5/16,Wuhan University of science and technology,12,上述几种误差都会影响计算结果的精确性,因而了解和研究这些误差对数值计算是有帮助的.但是研究前俩种误差对计算结果的影响往往不是计算工作者所能独立完成的,所以我们一般只研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响.这俩种误差在数值计算中会产生什么样的影响?这是我们这门课要重视的问题.,2019/5/16,13,We should think much of the influence of these four errors!,1.2.2、误差与有效数字,一、绝对误差,其中x为精确值，x*为x的近似值。,，例如：,上常记为,注：e* 理论上讲是唯一确定的，可能取正，也可能取负。 e*0 时，x*称为强近似值，e* 0 不唯一，当然 e* 越小越具有参考价值。,由于通常准确值 x 是不知道的，所以误差e* 的准确值也不可能求出，但根据具体情况，可事先估计出误差的范围误差绝对值不能超过某个正数 ，我们把 叫做误差绝对值的“上界”，或称“误差限”。,工程,二、 相对误差与相对误差限,x 的相对误差限 常定义为,实际计算中，相对误差通常取为：,相对误差,注意:相对误差比绝对误差更能反映出误差的特征,因此在误差分析中,相对误差比绝对误差更重要.,三、有效数字,在实际应用中当准确数 的位数很多时, 我们常用四舍五入的办法来减少位数得到它的近似数. 如 ： 若按四舍五入原则分别取四位和五位小数时, 则得 其绝对误差不超过末位数的半个单位, 即,2019/5/16,16,2019/5/16,17,若近似值 的误差限是其某一位上的半个单位时,我们就称其准确到这一位,且从该位起直到左起第一位非零数字为止的所有数字都称为有效数字.,2019/5/16,18,用科学计数法，记 （其中 ）。若 则称x* 有n 位有效数字。,注：0.2300有4位有效数字，而0.23只有2位有效数字。 数字末尾的0不可随意省去！,定义,注：关于有效数字有以下几点说明：,1、用四舍五入法取准确值的前n位作为近似值，则x*必有n位有效数字；,2、有效数字位数相同的两个近似数，绝对误差限不一定相同；,3、将任何数乘以10m(m为整数)，等于移动该数的小数点，并不影响它的有效数字的位数；,4、准确值被认为具有无穷位有效数字.,2019/5/16,20,例 考察三位有效数字重力加速度g,若以m/s2为单位, g9.80m/s2,若以km/s2为单位, g0.00980km/s2,2019/5/16,21,有效数字与相对误差的关系, 有效数字 相对误差限,已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误差限为, 相对误差限 有效数字,说明:在计算过程中尽量不要损失有效数字,2019/5/16, Wuhan University Confidential,22,例: ,它的相对误差限是多少? 例:为了使 的近似数的相对误差不超过 ,问至少要取多少位有效数字. n=4,2019/5/16,23,例：为使 的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？,解：假设 * 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为,要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足,已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n 6 log6，即 n 6，应取 * = 3.14159。,2019/5/16,25,1.2.3 数值运算的误差估计,2019/5/16,26,2019/5/16,27,例,1.3 误差定性分析与避免误差危害 1.3.1 算法的数值稳定性,例：蝴蝶效应 武汉的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的上海就刮起台风来了？！,WH,SH,以上是一个病态问题 关于本身是病态的问题，我们还是留给数学家去头痛吧！,例：计算, 公式一:,注意此公式精确成立,?,?,? !,! !,发生了 什麽 ?!,考察第n步的误差, 公式二:,注意此公式与公式一 在理论上等价。,方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n N )。,可取,取,考察反推一步的误差：,以此类推，对 n N 有：,误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法。,在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 算法的稳定性会是一个非常重要的话题。,2019/5/16,33,1.3.2、病态问题与条件数,对一个数值问题，如果输入的数据有微小扰动（误差）， 引起输出数据（解）相对误差很大，称为病态问题。,1.3.3 避免误差危害,选择稳定的计算公式 避免俩近似数相减 绝对值太小的数不宜作除数 防止大数吃掉小数的运算 简化计算公式 减少运算次数,2019/5/16,34,一、选择稳定的计算公式,例 计算积分,2019/5/16,35,解 利用分部积分得,得到计算公式,2019/5/16, Wuhan University Confidential,36,What happened?!,2019/5/16,37,二、避免俩相近数相减,原因:损失有效数字 例:,2019/5/16,38,How to avoid this problem?,例,2019/5/16,39,例,有些计算若无法改变算式, 可采用增加有效数字位数再进行计算;或在计算机上用双倍字长运算, 但这必须以增加机时和多占内存单元为代价.,2019/5/16,40,例,2019/5/16,41, 经验性避免方法：,三、绝对值太小的数不宜作除数,若用很小的数作除数机器可能溢出停机, 而且当很小的数有一点误差时, 对计算结果影响很大.,2019/5/16, Wuhan University Confidential,42,例,What a big error!,四、防止大数吃掉小数,例,2019/5/16,43,Remember to avoid this phenomenon!,五、简化计算公式, 减少运算次数,例,2019/5/16,44,What a good method!,2019/5/16,45,15次乘法运算而不是255次,1.4 数值计算中算法设计的技术 近似替代, 离散化, 递推化, 校正， 非线性方程线性化，加权平均。 1、近似替代,2019/5/16,46,2、离散化：把求连续变量的问题转化为求离散变量的问题,2019/5/16,47,3、递推化：把复杂的计算归结为简单过程的多次重复计算，易于用循环结构来实现（如迭代法）,2019/5/16,48,例 计