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320 第六章 离散系统的 Z域分析 6 . 1 学习重点 1、离散信号 z域分析法z 变换，深刻理解其定义、收敛域以及基本性质；会根据 z 变换的定义以及性质求常用序列的 z 变换；理解 z 变换与拉普拉斯变换的关系。 2、熟练应用幂级数展开法、部分分式法及留数法，求 z反变换。 3、离散系统 z域分析法，求解零输入响应、零状态响应以及全响应。 4、z域系统函数( )zH及其应用。 5、离散系统的稳定性。 6、离散时间系统的 z域模拟图。 7、用 MATLAB进行离散系统的 Z 域分析。 6 . 2 教材习题同步解析 6.1 求下列序列的z变换，并说明其收敛域。 （1） n 3 1 ，0n （2） n 3 1 ，0n （3） nn + 3 1 2 1 ，0n （4） 4 cos n ，0n （5） + 42 sin n ，0n 【知识点窍】本题考察z变换的定义式 【逻辑推理】对于有始序列离散信号 nf其z变换的定义式为 321 ( ) = = 0n n znfzF 解： （1）该序列可看作 n n 3 1 ( ) = = = = = 0 1 0 3 1 3 1 3 1 n n n n nn zznnZzF 对该级数，当1 3 1 1 z时，级数收敛，并有 ( ) 13 3 3 1 1 1 1 = = z z z zF 其收敛域为z平面上半经 3 1 =z的圆外区域 （2）该序列可看作 () nn n n 3 3 1 = ( )() () () = = = 0 1 0 333 n n n n nn zznnZzF 对该级数，当13 1 z时，级数收敛，并有 ( ) ()331 1 1 + = = z z z zF 其收敛域为z平面上半经3=z的圆外区域 （3）该序列可看作 nn n nnn + = + 3 2 1 3 1 2 1 ( ) () = = = + = + = + = 0 1 0 1 0 3 2 1 3 2 1 3 2 1 n n n n n nn n n n zzznnZzF 对该级数，当1 2 1 1 z时，级数收敛，并有 ( ) 312 2 31 1 2 1 1 1 1 1 + = + = z z z z z z zF 其收敛域为z平面上半经3=z的圆外区域 322 （4）该序列可看作 n n 4 cos ( ) = = = = + = += = 0 1 4 0 1 4 0 44 0 2 1 2 1 2 1 4 cos 4 cos n n j n n j n n njnj n n zeze zeez n n n ZzF 对该级数，当1 1 4 z时，级数收敛，并有 ( ) 12 2 2 1 4 cos2 4 cos 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 44 1 4 1 4 + = + = + = + = zz zz zz zz ez z ez z zeze zF jjjj 其收敛域为z平面上半经1=z的圆外区域 （5）该序列可看作 n nn n nn n n += += + 2 cos 2 sin 2 2 2 sin 4 cos 2 cos 4 sin 42 sin ( ) ()12 22 12 2 12 2 1 2 cos2 2 cos 2 2 1 2 cos2 2 sin 2 2 2 cos 2 2 2 sin 2 2 2 cos 2 sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 00 + + = + + + = + + + = += += = = z zz z z z z zz zz zz z z n z n n nn ZzF n n n n 其收敛域为z平面上半经1=z的圆外区域 6.2 已知 1n， az z na n ， ()21 z z nn， 试利用z变换的性质求下列序列的z变换。 （1）2n （2）0.6() n n 11+ 323 （3） 842+nnn （4）() nn n 1 （5）()11nn （6）()11nnn （7）()11 2 nn （8） 1nnn 【知识点窍】本题考察z变换的性质 【逻辑推理】 （1） 线性性质：z变换的线性性质表现为齐次性和可加性，即 若 ( ) ( )zFnf zFnf 22 11 则 ( )( )zbFzaFnbfnaf 2121 + 式中 a 和 b 为任意常数。 （2）移位特性：对于双边序列 nf，其右移 m 位后的单边z变换为 mnf( ) + = m k km zkfzFz 1 对于单边序列 ( )zFzmnmnf m （3）尺度变换：若 ( )zFnf，则 nf乘以指数序列的z变换为 a z Fnfa n （4）初值定理：若 ( )zFnf，且( )zF z lim存在，则 nf的初值为 ( )zFf z = lim0 （5）终值定理：若 ( )zFnf，则若 nf的终值为 =f nf n lim=() ( )zFz z 1lim 1 （6 ）卷积定理：若 ( ) ( )zFnfzFnf 2211 ,，则 nf1与 nf2卷积和的z变换为 ( )( )zFzFnfnf 2121 解： （1） 1n，根据 z 变换的移位特性，有： 2 2 =znZ （2） az z na n ，则有： 324 1 6 . 0 6 . 0 z z n ，() 1 6 . 0 16 . 0 + z z n n 根据 z 变换的线性，有： () 1 2 . 1 1 6 . 0 1 6 . 0 116 . 0 2 2 = + + =+ z z z z z z nZ n （3） 1 z z n，根据 z 变换的移位特性，有： 11 4 3 4 = z z z z zn ， 11 8 7 8 = z z z z zn 再根据 z 变换的线性，则有： 1 2 11 2 1 842 7373 + = + =+ z zzz z z z z z z nnnZ （4）令 () =nnf n 1 1 ，则根据 az z na n ，有( ) 1 1 + = z z zF 所以 () nnfnnnf n 1 1= 根据 z 变换的微分性质，有： ( )( ) ()2 1 1+ = z z zF dz d zzF （5） ()21 z z nn，根据 z 变换的移位特性，有： () ()()2 2 1 1 1 1 11 = = zz z znnZ （6）令 ()=11 1 nnnf，有( ) ()2 1 1 1 = z zF 所以 () nnfnnnnf 1 11= 根据 z 变换的微分性质，有： ( )( )() ()()3 3 1 1 2 1 1 2 = = z z z zzF dz d zzF （7）令 ()=11 1 nnnf，有( ) ()2 1 1 1 = z zF 所以 ()() nfnnfnfnnnnf 111 2 111= 325 根据 z 变换的微分特性和线性，有： ( )( )( ) ()()()3 23 11 1 1 1 1 1 2 + = = z z zz z zFzF dz d zzF （8） ()1111=nnnnnnnnnf ()21 z z nn， 1 z z n，根据 z 变换的移位特性，有： () ()21 1 11 = z nnZ ， 1 1 1 = z nZ 根据 z 变换的线性，有： ( ) ()() 0 1 1 1 1 1 22 = = zzz z zF 6.3 求下列象函数的z反变换。 （1） 1 5 .01 1 z ， 5 . 0z （2） 2 1 25 . 0 1 5 . 01 z z ， 5 . 0z （3） az az 1 ， z | 1 a （4） 23 2 2 + zz z ，2z （5） 2 1 2 2 + + zz zz ， 2z （6） ()()25. 05 . 0 2 zz z ，5 . 0z （7） 1 1 2 +z ，1z （8） ()()11 2 zz z ，1z 【知识点窍】本题考察z变换的反变换的方法 【逻辑推理】求反变换通常有 3 种方法 （1 ）幂级数展开法：将( )F z展开成 n z 的级数，由 n z 的系数就是( )f n的相应项。 （2）部分分式展开法：若 ( )F z z 为有理分式，则可将 ( )F z z 展开成部分分式，再乘以z，再利用常 用z变换进行反z变换。 （3）留数法： ( )( ) 11 1 Re0 2 nn C i f nF z zdzs F z zn j = ? 326 解： （1）( ) 5 . 05 . 01 1 1 = = z z z zF 对上式取反变换，则有： nnf n 5 . 0= （2）( ) 5 . 025 . 0 5 . 0 25 . 0 1 5 . 01 2 2 2 1 + = = = z z z zz z z zF 对上式取反变换，则有： () nnf n 5 . 0= （3） ()11 )( 21 += = az K z K azz za z zF ( )azFK z = =01 () ( ) 11 2 12 = = a z zF azK a z 所以有 1 1)( 2 += az a z a z zF 故有 () a z z a a a az za azF 1 1 1 1 )( 22 += += 对上式取反变换，则有： () () naanan aa a nanf n n 12 2 1 11 += += （4） ()()212123 )( 21 2 + + + = + = + = z K z K zz z zz z z zF () ( ) 11 11 =+= =z z zF zK () ( ) 22 22 =+= =z z zF zK 所以有 2 2 1 1)( + + + = zzz zF 故有 2 2 1 )( + + + = z z z z zF 对上式取反变换，则有： () () ()() nnnnf n nnn 121221 1 =+= + 327 （5） ()()()1212 1 2 1)( 3 21 2 2 2 + + += + + = + + = z K z K z K zzz zz zzz zz z zF ( ) 2 1 01 = =z zFK () ( ) 2 1 2 22 =+= =z z zF zK () ( ) 11 13 = =z z zF zK 所以有 1 1 2 1 2 11 2 1)( + + += zzzz zF 故有 122 1 2 1 )( + + += z z z z zF 对上式取反变换，则有： () nnnnf n +=2 2 1 2 1 （6） ()()25. 05 . 025. 05 . 0 )( 21 + = = z K z K zz z z zF () ( ) 25 . 0 5. 01 = =z z zF zK () ( ) 125. 0 25. 02 = =z z zF zK 所以有 25. 0 1 5 . 0 2)( + = zzz zF 故有 25. 05 . 0 2 )( = z z z z zF 对上式取反变换，则有： () () () nnnnf nn nn 21 2225. 05 . 02 = （7） ()jz K jz K z K zzz zF + + += + = 321 2 1 1)( ( )1 01 = =z zFK () ( ) 2 1 2 =+= =jz z zF jzK () ( ) 2 1 3 = = jz z zF jzK 所以有 jzjzzz zF + = 1 2 11 2 11)( 328 故有 jz z jz z zF + = 2 1 2 1 1)( 对上式取反变换，则有： () n n nnjnjnnf n n 2 cos 2 1 2 1 = （8） ()()()()()11111 1 11 1)( 212 2 11 22 + + + = + = = z K z K z K zzzz z zF () () ( ) 2 1 1 !11 1 1 2 11 = = =z z zF zK () () ( ) 4 1 1 !12 1 1 2 12 = = =z z zF z dz d K () ( ) 4 1 1 12 =+= =z z zF zK 所以有 ()1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 2 1)( 2 + + = zzzz zF 故有 ()14 1 14 1 12 1 )( 2 + + = z z z z z z zF 对上式取反变换，则有： () () nnnnnnnf nn +=+= 4 1 1 4 1 2 1 1 4 1 4 1 2 1 6.4 若序列的z变换如下，求 0f。 （1）( )=zF ()()12 2 zz z ，2z （2）( )=zF ()()5 . 01 1 2 + + zz zz ，1z （3）( )=zF ()3 2 1 z zz ，1z 【知识点窍】本题考察利用z变换求取序列的初值 【逻辑推理】初值定理：若 ( )zFnf，且( )zF z lim存在，则 nf的初值为 ( )zFf z = lim0 解： 329 （1） ( ) ()() 1 23 1 1 lim 12 limlim0 2 2 = + = = zz zz z zFf zzz （2） ( ) ()() 1 5 . 05 . 0 1 11 1 lim 5 . 01 1 limlim0 2 2 2 = + + = + + = zz zz zz zz zFf zzz （3）( ) ()()2 3 2 11 = = z z z zz zF ( ) () 0 1 2 1 lim 1 limlim0 2 = + = = z z z z zFf zzz 6.5 若序列的z变换如下，能否应用终值定理？如果能？则求出 f。 （1）( )=zF + + 3 1 2 1 1 2 zz z （2）( )=zF ()()5 . 01 1 2 + + zz zz （3）( )=zF ()()21 2 zz z 【知识点窍】本题考察利用z变换求取序列的终值 【逻辑推理】为了保证 f存在，只有当n时， nf收敛才可应用，也就是说，其极点 必须限制在单位圆内部，在单位圆上只能位于1=z点且是一阶极点；否则， nf将随着n而 无限地增长或者为不定值。 终值定理：若 ( )zFnf，则若 nf的终值为 =f nf n lim=() ( )zFz z 1lim 1 解： （1） () ( ) ()() 0 3 1 2 1 11 lim1limlim 2 11 = + + = zz zz zFznff zzn （2） () ( )2 5 . 0 1 lim1limlim 2 11 = + + = z zz zFznff zzn （3）( )zF收敛域为2z，不满足应用终值定理的条件，故终值不存在。 330 6.6 利用性质求下列序列的z变换。 （1） n n 2 cos （2） n n n 2 sin （3） n n n 2 cos 2 1 （4）() = n i i 0 1 【知识点窍】本题考察z变换的性质 【逻辑推理】 （1） 线性性质：z变换的线性性质表现为齐次性和可加性，即 若 ( ) ( )zFnf zFnf 22 11 则 ( )( )zbFzaFnbfnaf 2121 + 式中 a 和 b 为任意常数。 （2）移位特性：对于双边序列 nf，其右移 m 位后的单边z变换为 mnf( ) + = m k km zkfzFz 1 对于单边序列 ( )zFzmnmnf m （3）尺度变换：若 ( )zFnf，则 nf乘以指数序列的z变换为 a z Fnfa n 解： （1） 2222 111 cos 2222 nn jj jnjn n f nneenenen =+=+ 因为 n z an za 则有 ( )( ) 22 22 nn jj jj zz enen zeze 由线性性质可得： ( ) 2 22 2 2 2 2 2 22 22 2 cos 111 2 2221 2 cos1 1 2 jj jj jj zz ee zz zzz F z z zz zeze zz ee + =+= + + + （2）令 =n n nf 2 sin 1 ，则有：( ) 1 1 2 cos2 2 sin 2 2 1 + = + = z z zz z zF 331 所以 nnfn n nnf 1 2 sin= ，根据 z 变换的微分性质，有： ( )( ) ()() 2 2 3 2 2 2 1 1 1 1 1 + = + = z z z z zzF dz d zzF （3）令 =n n nf 2 cos 1 ，则有： ( ) 1 1 2 cos2 2 cos 2 2 2 2 1 + = + = z z zz zz zF 所以 nfn n nf nn 1 2 1 2 cos 2 1 = = 根据 z 变换的尺度变换性质，有： ( )() 14 4 2 2 2 1 + = z z zFzF （4）令 () =nnf n 1 1 ，则有： ( ) 1 1 + = z z zF 所以 () = = n i n i i ifnf 0 1 0 1 故根据时域部分求和性质，有： ( )( ) 11 2 2 1 = = z z zF z z zF 6.7 试用卷积定理证明以下关系： （1） mnfmnnf= （2） () nnnn1+= 【知识点窍】本题考察z变换的性质之一 卷积定理 【逻辑推理】卷积定理：若 ( ) ( )zFnfzFnf 2211 ,，则 nf1与 nf2卷积和的z变换 为 ( )( )zFzFnfnf 2121 332 证明： （1）因 1n，根据 z 变换的移位特性，有： m zmn 令 ( )zFnf，则根据卷积定理有： ( )zFzmnnf m 根据 z 变换的移位特性，可得： ( )mnfzFzZ m = 1 即有： mnfmnnf= （2）令 nnfnf= 21 ，则有( )( ) 1 21 = z z zFzF ( )( ) ()2 2 21 1 = z z zFzF 故有 ( )( ) ()() 1 1 1 1 1 22 21 + = = z zz z z zFzF 即有 ( )( ) ()11 2 21 + = z z z z zFzF 对上式求反变换，有 ( )( ) nnnzFzFZ+= 21 1 根据卷积定理有： ( )( )zFzFnfnf 2121 所以 ( )( ) nnnzFzFZnfnf+= 21 1 21 即有： () nnnn1+= 6.8 已知上题的结论 () nnnn1+=，试求 nn的z变换。 【知识点窍】本题考察z变换的性质。 【逻辑推理】 （1） 线性性质：z变换的线性性质表现为齐次性和可加性，即 若 ( ) ( )zFnf zFnf 22 11 则 ( )( )zbFzaFnbfnaf 2121 + 式中 a 和 b 为任意常数。 （2 ）卷积定理：若 ( ) ( )zFnfzFnf 2211 ,，则 nf1与 nf2卷积和的z变换为 ( )( )zFzFnfnf 2121 333 解：令 nnfnf= 21 ，则有( )( ) 1 21 = z z zFzF 所以 ( )( ) ()2 2 21 1 = z z zFzF 令 nnnf= 3 ， nnf= 4 ，则有( ) 1 4 = z z zF 根据卷积定理 ( )( )zFzFnfnf 2121 以及已知条件 () nnnn1+=，即 nfnfnfnf 4321 += 则可得： ( )( ) ()2 2 2143 1 =+ z z zFzFnfnf 再由 z 变换线性可知： ( )( )zFzFnfnf 4343 + 则有： ( )( )( )( ) ()()2 2 2 4213 111 = = z z z z z z zFzFzFzF 即 ()21 z z nn 6.9 利用卷积定理，求下述序列的卷积 nhnfny=。 （1）( )( )( )()2,=nnhnanf n （2） 1,=nnhnanf n （3） nbnhnanf nn =, 【知识点窍】本题考察z变换的性质（卷积定理）以及反变换求法。 【逻辑推理】卷积定理：若 ( ) ( )zFnfzFnf 2211 ,，则 nf1与 nf2卷积和的z变换 为 ( )( )zFzFnfnf 2121 解： （1）( )( )nanf n =，则有 ( ) az z zF = 因 1n，( )()2=nnh， 根据 z 变换的移位特性，有： 2 = zzH 334 所以 ( )( ) ()azz z az z zHzF = = 1 2 根据卷积定理 ( )( )zHzFnhnfny= 即有 ( )( )( ) ()azz zHzFzY = 1 求其 z 变换，将( )zY进行部分分式展开，可得： ()az K z K z K azzz zY += = 212 2 11 2 1)( 其中： () ( ) az zY zK z 1 !11 1 0 2 11 = = = () ( ) 2 0 2 12 1 !12 1 az zY z dz d K z = = = () ( ) 2 2 1 az zY azK az = = 所以有 azazazaz zY += 111111)( 222 故 az z aaza zY += 22 1111 )( 对上式求反变换有： na a n a n a ny n += 22 11 1 1 （2）( )( )nanf n =，则有( ) az z zF = 因 1 z z n，( )()1=nnh 根据 z 变换的移位特性，有： 1 1 1 1 = = zz z zzH 所以 ( )( ) ()()azz z zaz z zHzF = = 11 1 根据卷积定理 ( )( )zHzFnhnfny= 即有 ( )( )( ) ()()azz z zHzFzY = 1 求其 z 变换，将( )zY进行部分分式展开，可得： 335 ()()az K z K azzz zY + = = 21 11 1)( 其中：() ( ) az zY zK z = =1 1 1 1 1 () ( ) 1 1 2 = = az zY azK az 所以有 azazaz zY + = 1 1 1 1 1 1 1)( 故 az z az z a zY + = 1 1 11 1 )( 对上式求反变换有： () na a na a n a ny nn 1 1 1 1 1 1 1 = + = （3）( )( )nanf n =，则有 ( ) az z zF = nbnh n =， 则有 ( ) bz z zH = 所以 ( )( ) ()()bzaz z bz z az z zHzF = = 2 1 根据卷积定理 ( )( )zHzFnhnfny= 即有 ( )( )( ) ()()bzaz z zHzFzY = 2 求其 z 变换，将( )zY进行部分分式展开，可得： ()()bz K az K bzaz z z zY + = = 21 )( 其中：() ( ) ba a z zY azK az = = 1 () ( ) ab b z zY bzK bz = =2 所以有 bzab b azba a z zY + = 11)( 故 bz z ab b az z ba a zY + =)( 对上式求反变换有： () nba ba nb ab b na ba a ny nnnn 11 1 + = + = 6.10 用z变换求下列齐次差分方程。 336 （1） 11, 019 . 0=ynyny （2） 22, 01, 0221=+yynynyny （3） 31, 00, 0212=+yynynyny （4） 31, 00, 0221=yynynyny 【知识点窍】本题考察用z变换求解系统响应的方法。 【逻辑推理】利用z变换求解系统的差分方程的响应一般步骤为： （1）对给定的差分方程进行z变换，将时域内的激励 nf和响应 ny分别变换成z域内的激励 ( )zF和响应( )zY。 （2）对差分方程z变换后得到的代数方程求解，求得z域内的响应( )zY。 （3）对( )zY进行z反变换，即可求的得待求的时域响应 ny。 解： （1）对差分方程z变换，根据移位特性，可得 ( )( )019 . 0 1 =+ yzYzzY 则 ( ) 1 9 . 01 19 . 0 = z y zY 将初始条件11 =y代入( )zY的式中，整理后可得 ( ) 9 . 0 9 . 0 9 . 01 9 . 0 1 = = z z z zY 对( )zY进行z反变换，可得 nny n 1 9 . 0 + = （2）对差分方程z变换，根据移位特性，可得 ( )( )( )02121 121 =+ yyzzYzyzYzzY 则 ( ) 21 1 21 12221 + = zz zyyy zY 将初始条件22, 01=yy代入( )zY的式中，整理后可得 ( ) 2 4 2 2 + = zz z zY 337 由此可得： ( ) 2 88 4 36 221 Y zz zzzzz =+ + 即得： ( ) 88 36 21 zz Y z zz =+ + 对上式求z反变换，即得 () 81 21 32 n n y nn = + （3）对差分方程z变换，根据移位特性，可得 ( ) ( ) ( )02010 12 = zYyzYzyzyzYz 则 ( ) 2 010 2 2 + = zz zyzyzy zY 将初始条件 31, 00=yy代入( )zY的式中，整理后可得 ( ) 122 3 2 + = = z z z z zz z zY 对( )zY进行z反变换，可得 () 21 n n y nn = （4）对差分方程z变换，根据移位特性，可得 ( )( )( )02121 121 =+ yyzzYzyzYzzY 则 ( ) 21 1 21 12221 + = zz zyyy zY 由给定的初始条件 31, 00=yy确定所需的初始条件1y和2y，可以令差分方程中的 1=n和0=n，则有 02210 01201 = = yyy yyy 从中解出 4 3 2, 2 3 1=yy 将初始条件1y和2y代入( )zY的式中，整理后可得 ( ) 122 3 2 + = = z z z z zz z zY 338 对( )zY进行z反变换，可得 () 21 n n y nn = 6.11 画出图 6.1 所示系统的z域模拟图，并求该系统的单位响应和阶跃响应。 图 6.1 【知识点窍】本题考察系统z域模拟图的绘制方法。 【逻辑推理】首先由时域模拟图得到系统的差分方程，再由此求出系统的函数。根据系统的函 数的定义即可求出单位响应和阶跃响应。 解： （a）由 z 域模拟图可得： 1 3 1 +=nynfny 即差分方程为 nfnyny=1 3 1 在零状态下对差分方程两边取 z 变换，得： ( )( )zFzYz= 1 3 1 1 故 ( )=zH ( ) ( )zF zY = 1 3 1 1 1 z Z 域模拟图，如图 6.2 （1）求系统的单位响应 nh。 1 z ( )zY ( )zF 3 1 图 6.2 339 已经求得系统函数( )zH，求其 z 反变换即求得 nh。 ( ) 3 1 3 1 1 1 1 = = z z z zH 对上式取反变换即得单位响应 nnh n = 3 1 （2）求系统的阶跃响应 ng。 当输入( )( )nnf=时，有( ) 1 = z z zF ( )( )( ) 1 3 1 = z z z z zFzHzG 将( )zG进行部分分式展开得： ( ) () 1 3 1 1 3 1 21 + = = z K z K zz z z zG 求出系数 2 3 , 2 1 21 =KK 所以有： ( ) 12 3 3 1 2 1 + = z z z z zG 取( )zG的反变换即得阶跃响应： () nnnng n n =+ =33 2 1 2 3 3 1 2 1 （b）由 z 域模拟图可得： nfnyny=+5 . 01 在零状态下对差分方程两边取 z 变换，得： ( )( )( )zFzYzzY=5 . 0 故 340 ( )=zH ( ) ( )zF zY = 5 . 0 1 z Z 域模拟图，如图 6.3 （1）求系统的单位响应 nh。 已经求得系统函数( )zH，求其 z 反变换即求得 nh。 ( ) 5 . 0 1 = z zH 将( )zH进行部分分式展开，得到： ( ) ()5 . 05 . 0 1 21 += = z K z K zzz zH 求出系数2, 2 21 =KK 所以有： ( ) 5 . 0 2 2 += z z zH 对上式取反变换即得单位响应 () nnnh n 5 . 022+= （2）求系统的阶跃响应 ng。 当输入( )( )nnf=时，有( ) 1 = z z zF ( )( )( ) 15 . 0 1 = z z z zFzHzG 将( )zG进行部分分式展开得： ( ) 15 . 0 21 + = z K z K z zG 求出系数2, 2 21 =KK 1 z ( )zY ( )zF 2 1 图 6.3 1 z 341 所以有： ( ) 1 2 5 . 0 2 + = z z z z zG 取( )zG的反变换即得阶跃响应： () () nnnng n n 5 . 01225 . 02=+= 6.12 已知系统的差分方程、输入序列和初始状态如下，试用z域分析法求系统的完全响应。 （1） () 0.510.5,11 n y ny nf nf nny+= （2） 01,15 . 015 . 0=ynnfnfnfnyny 【知识点窍】本题考察用z变换求解系统全响应的方法。 【逻辑推理】利用z变换求解系统的差分方程的响应一般步骤为： （1）对给定的差分方程进行z变换，将时域内的激励 nf和响应 ny分别变换成z域内的激励 ( )zF和响应( )zY。 （2）对差分方程z变换后得到的代数方程求解，求得z域内的响应( )zY。 （3）对( )zY进行z反变换，即可求得全响应 ny。 解： （1）对差分方程两边取z变换，根据移位特性，可得 ( )( )( ) 1 0.51Y zz Y zyF z += （1） 当输入 () 0.5 n f nn=时，有 ( ) 0.5 z F z z = 将初始条件( )11, 0.5 z yF z z = 代入（1）式，即得 ( ) 0.5 0.5 z Y z z = 对其取反变换即得到系统的全响应为 () 1 0.5 n y nn + = （2）对差分方程两边取z变换，根据移位特性，可得 ( )( )( )( )15 . 015 . 0 11 +=+ fzFzzFyzYzzY （2） 当输入( )( )nnf=时，有( ) 1 = z z zF，01 =f 将初始条件01 =y，( ) 1 = z z zF，01 =f代入（2）式，有： 342 ( )( ) 1 5.0 1 5.0 1 = zz z zYzzY 故有： ( ) 15 . 01 1 5 . 0 1 1 = = z z z zz z zY 对上式取反变换即得到系统的全响应为： y nn= 6.13 设系统的差分方程为 nfnynyny=+2615，当 nnf2=，初始状态 22, 31=yy时，求系统的响应 ny。 【知识点窍】本题考察用z变换求解系统全响应的方法。 【逻辑推理】利用z变换求解系统的差分方程的响应一般步骤为： （1）对给定的差分方程进行z变换，将时域内的激励 nf和响应 ny分别变换成z域内的激励 ( )zF和响应( )zY。 （2）对差分方程z变换后得到的代数方程求解，求得z域内的响应( )zY。 （3）对( )zY进行z反变换，即可求得全响应 ny。 解：对差分方程z变换，根据移位特性，可得 ( )( )( )( )zFyyzzYzyzYzzY=+ 21615 121 当输入( )( )nnf2=时，有( ) 1 2 = z z zF 将初始条件( ) 1 2 = z z zF，22, 31=yy代入上式，可得： ( )( )( ) 1 2 23635 121 =+ z z zzYzzYzzY 故有： ( ) ()()() ()() ()()() () ()()21 65 321 365 321 18215 651 318 1 2 23 21 1 = = + = + + = zz zz zzz zzz zzz zzz zz z z z zY 将上式进行部分分式展开，得到： 343 ()()2121 65)( 21 + = = z K z K zz z z zY 求出系数4, 1 21 =KK 故 2 4 1 )( + = z z z z zY 对上式取反变换即得到系统响应： ( )( )( )( )( )nnnny n n 2 2124 + +=+= 6.14 若一系统的输入 2214+=nnnnf，系统函数为 ( )=zH ()() 11 5 . 011 1