《高数习题》PPT课件.ppt

,习题课,一、 曲线积分的计算法,二、曲面积分的计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,线面积分的计算,第十一章,定积分,曲线积分,重积分,曲面积分,计算,计算,计算,Green公式,Stokes公式,Guass公式,各种积分之间的联系,一、曲线积分的计算法,1. 基本方法,曲线积分,第一类 ( 对弧长 ),第二类 ( 对坐标 ),积分路径参数方程代入法,定积分,一代,二换,三定限,(2) 确定积分上下限,第一类: 下小上大,第二类: 下始上终,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 利用对称性，轮换对称性及质心公式简化计算 ;,(2) 利用积分与路径无关的等价条件;,(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ;,(4) 利用斯托克斯公式 ;,(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .,2. 基本技巧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 计算,其中 为曲线,解: 利用轮换对称性 , 有,利用重心公式知,(的重心在原点),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,例2. 求平面,被坐标面与曲面,截下的,在第一卦限部分的面积。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,取 x 为参数，则：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,例3. 设L是正方形区域,的边界，计算积分,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 因为积分与路径无关，所以,例5. 设积分,与路径无关，且,有二阶连续导数，求函数,而,即有,这是一个二阶常系数线性非齐次微分方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,先求它所对应的齐次微分方程的通解：,特征方程为：,特征根为：,则所求齐次微分方程的通解为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再求非齐次微分方程的通解：,因为,为特征根，所以设特解为：,代入原方程计算得：,于是：,二、曲面积分的计算法,1. 基本方法,曲面积分,第一类( 对面积 ),第二类( 对坐标 ),二重积分,(1) 统一积分变量 代入曲面方程,(2) 积分元素投影,第一类: 始终非负,第二类: 有向投影,(3) 确定二重积分域, 把曲面积分域投影到相关坐标面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 基本技巧,(1) 利用对称性及重心公式简化计算,(2) 利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(辅助面一般取平行坐标面的平面),(3) 两类曲面积分的转化,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思 考 题,1) 二重积分是哪一类积分?,答: 第一类曲面积分的特例.,2) 设曲面,问下列等式是否成立?,不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 设 是曲面,解: 取足够小的正数, 作曲面,取下侧,使其包在 内,为 xoy 平面上夹于,之间的部分, 且取下侧 ,取上侧, 计算,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二项添加辅助面, 再用高斯公式 计算, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 计算曲面积分,中 是球面,解:,用重心公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.,设L 是平面,与柱面,的交线,从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算,解: 记 为平面,上 L 所围部分的上侧,D为在 xoy 面上的投影.,由斯托克斯公式,公式 目录 上页 下页 返回 结束,D 的形心,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、积分的应用,1. 几何方面,面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积,质量, 转动惯量, 质心, 引力,2. 物理方面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲面面积的计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲顶柱体的表面积,如图曲顶柱体，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,由对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一,个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个,的另一边长度应为多少?,提示: 建立坐标系如图.,由对称性知,由此解得,问接上去的均匀矩形薄片,即有,薄片的重心恰好落在圆心上 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11. 计算二重积分,其中D 是由曲,所围成的平