信号与线性系统第一章.ppt

2019年5月17日,1,信号与线性系统分析,吴欢 皖西学院信息工程学院,2019年5月17日,2,本门课程选用教材：,信号与线性系统分析 （第四版） 吴大正 高等教育出版社 主要参考书： 1 郑君里、应启珩、杨为理.信号与系统 （上、下）.北京：高等教育出版社， 2000 2 管致中、夏恭恪、孟桥.信号与线性系统（上、下）（第四版）.北京：高等教育出版社，2004 3 Alan.V.Oppenheim著，刘树棠译. 信号与系统. 西安: 西安交通大学出版社,1998,2019年5月17日,3,课程教学安排：考试课程，64学时， 4学分 成绩组成：期末考试70%，平时成绩30%（出勤、课堂回答问题、作业） 实验：20学时，1学分 实验50%，实验报告50%,2019年5月17日,4,课堂要求,1、不许迟到、早退 2、上课不许说话 3、点名3次未来者，取消考试资格 4、作业禁止抄袭 5、期末考试后，禁止各种形式求情 6、禁止换班听课 7、课后复习、预习,2019年5月17日,5,课程特点,1、专业基础课 非常重要 2、数学应用多 3、基本概念、基本分析方法 重要,2019年5月17日,6,学习目的,1、掌握基本概念、分析方法 2、培养逻辑分析能力,2019年5月17日,7,三个重要问题,1、基本信号及其响应 2、信号的分解 3、LTI系统分析方法,第一章 信号与系统,主要介绍信号与系统的概念以及它们的分类方法，并讨论线性时不变（Linear Time-Invariant,缩写为LTI）系统的特性，简明扼要地介绍了LTI系统的描述方法和分析方法。深入地研究了在LTI系统分析中占有十分重要地位的阶跃函数、冲激函数及其特性。,1.1 绪言,思考问题： 什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念联系在一起？ 一、信号的概念 1.消息（message）： 人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。 消息：反映知识状态的改变,2019年5月17日,10,2.信息（information）：它是信息论中的一个术语。 通常把消息中有意义的内容称为信息。 3、信号（signal） 信号是信息的载体。通过信号传递信息。 光信号、电信号、声音信号,二、系统的概念 信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。 一般认为系统是指由若干个相互关联、相互作用的事物，按照一定的规律组合而成的具有某种特定功能的整体。,如:通信系统、电力系统、机械系统、生产管理系统、交通运输网络、太阳系等。,系统的属性不同、规模不同、复杂程度不同。,信号与系统的概念紧密相连的。,系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。,2019年5月17日,13,1.2 信号的描述和分类,一、信号的描述 信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变化的物理量。 信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课程讨论电信号-简称“信号”。,2019年5月17日,14,电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流 描述信号的常用方法 （1）表示为时间的函数 （2） 信号的图形表示波形,确定信号：是指能够用确定性的图形曲线或解析式 来准确描述，对于给定某一时刻，有确定的函数值。,随机信号：不能用确定的时间函数来描述，只知道 它在某一时刻取某一函数值的概率。,1、确定信号和随机信号,本书仅讨论确定信号。,如马路上的噪声，其强度因时因地而异，无法准确预测，因此它是随机信号。研究随机信号要用概率统计的观点和方法。,二、信号的分类,这是根据信号自变量为连续/离散的特点进行区分。,2、连续信号和离散信号,1、连续信号：在连续时间范围 内有定义的信号，称为连续时间信号，简称连续信号。函数值为连续是常称为模拟信号。允许有有限个间断点。,2、离散信号 仅在一些离散时刻才有定义的信号-离散时间信号。取值为规定数值时常称为数字信号。,“离散”仅指定义域，只在 有定义。,则离散信号只在均匀离散时刻 有定义,表示为 简记为:,相邻离散点的间隔。 可以相等也可不等。通常取等间 隔，,2019年5月17日,18,本书只讨论 为常数的情况.,这样的离散信号也常称为序列。 序列 的数学表示式可写成闭合形式，亦可分别列出。,例1、,为简化表达方法，此序列也可写作：,例2、,例3、单位阶跃序列,可见，对连续信号和离散信号的区分主要看信号的定义域。对于值域可连续亦可离散。 二者均为连续为模拟信号。 二者均为离散为数字信号。,自然界中的实际信号可能是连续信号，也可能是离散信号。,例如，语音信号，连续测量的温度曲线都是连续信号。而银行发布利率，按年度统计的人口数量或国民生产总值都是离散信号。数字计算机处理的是离散时间信号，当处理对象为连续信号时需要经采样将它转换为离散时间信号。,周期信号：每隔一定时间T（或整数N）按相同规律 重复变化的信号。,三、周期信号和非周期信号,对于连续时间信号，满足：,对于离散时间信号 ，满足：,满足以上关系式的最小的T（或N）值,称为该信号的周期。,不具有周期性的信号，称为非周期性信号。,非周期性信号:,例： 求下列函数的周期、,解：,例：求 的周期。,解：,一般对于离散的正弦或余弦序列:,例：求 的周期。,解：,例1.2-1: 判别下列各序列是否为周期性的，如果是周期性的，确定其周期。,解：,所以是周期序列，周期,所以是周期序列，周期,例1.2-1: 判别下列各序列是否为周期性的，如果是周期性的，确定其周期。,解：,所以不是周期序列。,2019年5月17日,27,补充例4：,判别下列信号是周期序列还是非周期序列，若是周期序列，试确定其周期。,解：,非周期,是非周期序列。,三、实信号和复信号,实信号： 函数（或序列）值均为实数的信号为实信号，如，正、余弦信号，单边实指数信号等。,复信号：函数（或序列）值为复数的信号为复信号，最常用的是复指数信号。,连续时间的复指数信号,二者均为实信号，是幅度随时间变化的正、余弦信号。,表征振荡的角频率；,实指数信号。,直流信号。,S的实部 表征信号幅 度随时间变化的状况:,可见，复指数信号概括了许多常用信号。它的重要特性之一是：微分或积分后仍为复指数信号。,想-想：复指数信号 是不是周期信号？,对于离散时间的复指数信号,为幅度随时间变化的正、余弦序列。,四、能量信号和功率信号,为了知道信号能量或功率特性，有时要讨论信号在单位电阻上的能量或功率。,在区间 的平均功率为,信号能量,信号功率,若信号的能量有界（ 即 ，这时 ），称其为能量信号； 若信号的功率有界（即 ，这时 ），称其为功率信号；,一般而言： 1.仅在有限区间不为零的信号应是能量信号。如单个矩形脉冲等。这些信号，平均功率P=0，只能从能量的角度去考虑。,2.周期信号、阶跃信号等是功率信号，它们的能量为无限。只能从功率的角度去考虑。,对离散信号有时也要讨论能量，序列 的能量 定义为,序列 的功率定义为,3.一个信号不可能既是能量信号又是功率信号，但有少数信号既不是能量信号也不是功率信号。如 。,1.3 信号的基本运算,主要内容： 一、加法和乘法 二、反转和平移 三、尺度变换,在信号传输与处理过程中往往需要进行信号的运算,如信号的加法、乘法、反转、平移和尺度变换等。,一、加法和乘法,与 的和是指同一瞬时两信号之值对应相加所构成的“和信号”，即,与 的积是指同一瞬时两信号之值对应相乘所构成的“积信号”，即,例如:,收音机的调幅信号是信号相乘的一个实例。,解：,二、反转和平移,反转：将信号 f (t) 或 f (k) 中的 t 或 k 换成 t 或 -k ,几何意义是将 f ( ) 以纵坐标为轴反转。,平移（亦称移位）：若t0 0 ， k00 ，则：,是将原信号 沿正 t 轴平移时间t0；,是将原信号 沿负 t 轴平移时间t0 ；,是将原信号 沿正 k 轴平移k0个单位；,是将原信号 沿负 k 轴平移 k0个单位；,连续信号的平移:,离散序列的平移：,例如在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间 ，利用该延迟时间 可计算出目标与雷达之间的距离。这里雷达接收到的信号就是延时信号。,如果 是已录制声音的磁带，则 表示将此磁带倒转播放产生的信号。,推荐解法：先画f ( t t0 )或f ( k k0 ),再反转；,例、已知f (t) 的波形如下，试画出f ( t+ 2)的波形。,已知 ， 如何画 f ( t t0 ) 及 f ( k k0 )？,另外：已知f (t) 的波形如下，试画出f ( t+ 2)的波形。 也可以先画出 但接下来应右移2个单位。,一般而言，对于最后的结果自己可以找两个特殊点进行验证。例如刚才的例题，我们可以进行验证。,将f (t) 的自变量乘以一个不为零的常数 a ,所得的信号 f (at)称为 f (t) 的尺度变换信号。,三、尺度变换（横坐标展缩）,f (at)是将原信号以原点为基准沿横轴压缩到原来的1/a；,f (at)是将原信号以原点为基准沿横轴扩展至1/a倍 ;,f (at)是将原信号反转并压缩或扩展至原来的 ;,连续信号的尺度变换,离散信号通常不作展缩运算，这是因为f (ak)仅在ak为整数时才有定义，而当a1或a1,且a1/m(m为整数）时，它常常丢失原信号f(k)的部分信息。,例如：,信号 (式中a0) 的波形可以通过对信号 的平移、反转（若a0)和尺度变换获得。,例1.3-2 已知 的波形，画出 的波形。,信号 (式中a0) 的波形可以通过对信号 的平移、反转（若a0)和尺度变换获得。,已知 ， 如何画 f ( a t +b ) ?,一般而言：先平移，再反转和尺度变换。,已知 ， 如何画 f ( t ) ?,一般而言：先反转和尺度变换，最后再平移。,注意：每一步中自变量t换成了什么。,例、 已知 的波形，画出 的波形。,0 1.5 2 3 t,1,如何验证？,补充例题1：,已知 波形如图，试画出 的波形。,解：,补充例题2：已知 的波形，试画出 的波形。,左移1个单位,解法一：,解法二：,左移6个单位,已知信号 波形如图，试画出 的波形。,补充例题3：,解：,1.4 阶跃函数和冲激函数,阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异函数。研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数）的理论。这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。,一、阶跃函数和冲激函数 二、冲激函数的性质 1、与普通函数相乘(取样） 2、移位 3、尺度变换 4、奇偶性,一、阶跃函数和冲激函数,我们来讨论这样的一个函数：,(虚线代表n增大时的变化趋势。),宽度趋于0,幅度趋于无穷大,但强度=1,单位阶跃函数,单位冲激函数的定义有两种：,狄拉克给出的定义：单位冲激函数是指除t=0外，其值处处为零，且积分值为1的函数。,根据以上讨论可知： 与 之间的关系是：,这样，在引入了冲激函数以后，间断点处的导数也是存在的。,若冲激不是发生在原点，而是在 则记为 ，,a0时，a(t)表示t=0处强度为a的冲激函数； a0时，a(t)表示t=0处强度为|a|的负冲激函数。,表示何意义？,引入阶跃函数后可简化函数的表示。,例如：门函数,现可表示为：,或,例如：如下图所示的函数：,可表示为：,例如：如下图所示的函数：,可表示为：,例如：如下图所示的序列：,可表示为：,阶跃函数可用来描述在t=0时刻接入的信号源，如： t=0时刻对某一电路接入电源，并且无限持续下去。,冲激函数可用来描述作用时间极短，但取值极大的物理量。如力学中瞬时作用的冲击力，电学中的雷击电闪等。,2019年5月17日,72,2019年5月17日,73,二、冲激函数的广义函数定义,定义：按广义函数理论，冲激函数由下式确定 单位阶跃函数的定义为：,2019年5月17日,74,三、冲激函数的导数和积分,的定义： 的定义：,2019年5月17日,75,四、冲激函数的性质,1、 及其导数与普通函数的乘积（取样）,设f(t)在t=0处连续，且处处有界，则：,仍为一个冲激函数， 但强度为 f(0)。,2019年5月17日,76,例1.4-1：分别化简函数 （ 为常数)与 的乘积。（书上19页） 解：,解：,对上式求导，得,常义导数,强度等于2和（-4）的冲激函数。,其波形图见下页：,3、尺度变换,4、奇偶性,取,当n为偶数时，,是t的偶函数,是t的偶函数,考虑：,1.5 系统的描述,主要内容： 一、系统的数学模型 二、系统的框图描述,我们分析的系统为连续或离散的动态系统。,系统按响应与激励之间的关系分为：,即时系统：任意时刻的响应仅取决于该时刻的激励， 而与它过去的历史无关。如 , 加法器，数乘器等。,激励与响应均为连续信号的系统，为连续系统。,激励与响应均为离散信号的系统，为离散系统。,系统按响应与激励的信号形式,连续系统,离散系统,一、系统的数学模型：,描述连续系统的数学模型：微分方程；,描述离散系统的数学模型：差分方程；,例：如图所示RLC电路，如果将 看成激励，写出以 为响应的微分方程。,解：,代入（1）,整理得,例：如书上23页图所示的力学系统，质量为M的物体受外力 的作用将产生位移 。将外力 看作系统的激励，位移 看作系统的响应。,力学系统：,电路系统：,2019年5月17日,92,例 ：某人向银行贷款 万元，月息为 ，他定于每月初还款，设第 月初还款为 万元。若令第 月尚未还清的钱款数为 万元，则有,二、系统的框图表示,在用方框图描述系统时，常用的基本单元有：,积分器,延时器,数乘器,加法器,延迟单元,例1.5-1已知某连续系统的框图，写出系统的微分方程。,解：,（书上25页）,例1.5-2某连续系统如图所示，写出该系统的微分方程。,解：,先设中间变量，再对两个加法器列方程，最后消去中间变量。,（书上26页）,对两个加法器列式：,消去中间变量,用 乘 ：,用 乘 ：,又：,例1.5-3、某离散系统如图所示，写出该系统的差分方程。,解：,先设中间变量，再对两个加法器输出列方程，最后消去中间变量。,（书上27页）,对两个加法器列式：,消去中间变量：,用 乘以,用 乘以,总之，已知框图列写其微分(或差分方程)的一般步骤是：,连续系统，设最右端积分器的输出为 ；,2.逐个写出加法器输出信号的方程；,3.消去中间变量。,1.选中间变量：,离散系统，设最左端的延迟单元输入为 ；,例1.5-2某连续系统如图所示，写出该系统的微分方程。,（书上26页）,例1.5-3、某离散系统如图所示，写出该系统的差分方程。,（书上26页）,1.6 系统的特性和分析方法,主要内容： 一、线性 二、时不变性 三、因果性 四、稳定性 五、LTI系统分析方法概述,对于连续或离散的动态系统，按基本特性可分为线性系统与非线性系统，时变系统与非时变系统，因果系统与非因果系统，稳定系统与非稳定系统等等。本书主要讨论LTI(Linear Time Invariant)系统。,一、线性,设系统的激励与响应之间的关系为:,线性性质包括两个内容：齐次性和可加性。,一个系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的。,设 为任意常数，则对于线性系统应有,这样，动态系统在任意时刻 （或 ）的响应 可以由初始状态 和 区间 或 上 的激励 完全的确定。,系统的完全响应可写为:,根据线性性质，线性系统的响应是 和 单独作用 所引起的响应之和,即:,零输入响应,零状态响应,分解特性,这样，动态系统是线性系统，应满足：,1、分解特性：,2、零输入线性：当有多个初始状态 时，对所 有的初始状态 呈线性。,3、零状态线性：当有多个激励 时，对所有 的 呈线性。,总之，一个既具有分解特性，又具有零状态线性和零输入线性的系统，称为线性系统，否则称为非线性系统。,2019年5月17日,112,例一:判断下列系统是否为线性系统,二、时不变性,对一个系统，若激励在时间上有一个任意平移，都导 致零状态响应 在时间上有相同的平移，则称该系统 为时不变系统，否则称为时变系统。,根据LTI系统的线性和时不变性，可得到LTI系 统的微分特性和积分特性：(书上29页）,一个系统既是线性又是时不变的，称线性时不变 系统。简记为LTI系统.,利用这两个性质可简化计算。,例1.6-1 某连续系统和离散系统的全响应分别为,式中a,b为常数,为初始状态,在t=0或k=0时接入,激励,。上述系统是否为线性的,时不变的?(书上29页）,解：(1),系统的零输入响应和零状态响应分别为,符合分解特性,、 满足零输入线性和零状态线性，,因而该系统是线性的。,令 ，则 ，代入上式，相应的积分 限改写 为 到 ，得,由于 是在 时接入的，在 时 ， ，故上式可改写为：,故该系统是时不变的。,解：系统的零输入响应和零状态响应分别为：,而且零输入响应满足零输入线性