农大概率论课件5.ppt

第四章 大 数 定 律与中心极限定理,问 题,频率趋于概率的严格证明？ 为什么正态分布占据着如此重要的地位？, 傅里叶变换在概率中的应用,复习：傅里叶变换,傅立叶 逆变换,傅里叶变换的一些性质 性质一（线性） 性质二（平移） 性质三（导数） 性质四 （卷积定理）,本 节 主 要 内 容,特征函数的定义 特征函数的重要性质 特征函数与分布的唯一确定性 利用特征函数证明分布的可加性,一、 特征函数的定义,定义：,复值随机变量e itX的期望值,称为 r.v. X 的特征函数。,所以,随机变量 X 的特征函数总存在.,注(1) : 由于,注(1) :,X 为离散型,PX= xk=pk ,k=1,2,X为连续型，X p(x),几个常见分布的特征函数,注：若X U(-a, a)，则,思 考 题 若随机变量 X 的密度函数为 p(x)，若其特征函数 (t) 为实的偶函数，则密度函数应满足怎样的条 件？,二、 特征函数的性质,命题 函数 (t) 是特征函数的充要条件是 (t) 非负定，连续，且 (0)=1。,（1）从函数的角度：,(2) 如果a 和b 为常数，则aX+b 的特征函数为,证明：,(3)独立随机变量之和的特征函数为特征函数的积. 即 设X与Y 相互独立, 则,注：可推广到 n 个独立r.v.之和的情形,证明：,证明，以连续型随机变量为例：,(需要验证条件),注:由特征函数可很容易地求出随机变量X 的各阶矩。,例1. 计算随机变量 的特征函数，其中 与 相互独立，且均服从参数为1 的指数 分布。,解：,三、特征函数与分布的唯一确定性,逆转公式,设F(x)和(t)分别为随机变量X的分布函数与特征函数, 则对F(x)的任意两个连续点 x1 x2，有,特别地,连续型r.v.X 的密度为p(x),特征函数为(t), 若 ,则,例5 已知连续型r.v.的特征函数, 求其分布.,解：,四、特 征 函 数 的 应 用,具有可加性的分布：,二项分布：设 X B (n1, p), Y B (n2, p), 且独立，,泊松分布： 设 X P (1), Y P (2), 且独立，,则 X + Y B ( n1+n2, p).,则 X + Y P(1+ 2) .,正态分布： ，且独立，,则,Gamma分布：设 X (1 , ), Y (2 , ), 且独立，,则 X + Y (1+2 , ).,Gamma分布可加性的证明：,则,由密度函数和特征函数的唯一确定性，,特 征 函 数 的 连 续 性 定 理,依分布收敛 (convergence in distribution),设随机变量 的分布函数分别为 及 F(x)，如果在 F(x) 的连续点 x 处，有,则称 依分布收敛于 X，记为,连续性定理,则 依分布收敛到 X 的充要条件是对任意 t，,多 元 特 征 函 数,定义,定义随机向量 的特征函数为,另外两个重要刻画 母函数 与 Laplace变换,若随机变量 X 取非负整数值，其分布列为,定义,称为 X 的母函数。,则,思 考 题 类似于特征函数，考虑母函数具有那些性质？,若 X 是非负随机变量，则可定义 Laplac