同济第五版高数3-6绘图,3-7曲率.ppt

第六节 函数图形的描绘,解 定义域为,一阶导数的符号确定函数图形的上升 下降以及极值点；,二阶导数的符号确定函数图形的凹凸以及拐点.,(极大值),(拐点）,(极小值),补充点,有了函数单调性、凹凸性以及极值、 拐点等信息，就可以掌握函数的性态， 并比较准确地画出函数图形.,利用函数导数作图的方法，称为 微分作图法.,利用导数描绘函数图形的一般步骤 :,1. 确定函数 的定义域 ,3. 列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点 ;,4. 求渐近线 ;,5. 确定某些特殊点,描绘函数图形 .,点和不存在的点 ;,并考察其对称性及周期性 ;,例2 描绘函数,的图形.,解 (1) 定义域为,图形对称于y 轴.,(2) 求关键点,为水平渐近线,(5) 作图,(4) 求渐近线,(3) 判别曲线形态,(极大),(拐点),若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有垂直渐近线,曲线的渐近线,斜渐近线,其中,例3 求曲线,的渐近线 .,解,为水平渐近线;,为垂直渐近线.,例4,解,非奇非偶函数,且无对称性.,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:,不存在,拐点,极值点,间断点,作图,水平渐近线 ; 垂直渐近线;,小 结,1. 曲线渐近线的求法,按作图步骤进行,2. 函数图形的描绘,思考题,曲线,(A) 没有渐近线；,(B) 仅有水平渐近线；,(C) 仅有铅直渐近线；,(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.,提示:,第七节 曲率,一、弧微分,二、曲率及其计算公式,一、 弧微分,设,在(a , b)内有连续导数,规定有向,弧段的值,（单增）,求弧的导数和微分：,则弧微分公式为,几何意义:,若曲线由参数方程 表示,弧微分公式,弧微分三角形,二、曲率及其计算公式,曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量,),),弧段弯曲程度越大转角越大,转角相同弧段越短弯曲程度越大,1、曲率的定义,),在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为,对应切线转角为,平均曲率,定义弧段 上的,点 M 处的曲率,注意: 直线上任意点处的曲率为 0 .,例1 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .,解 如图所示 ,可见: R 越小, 则K 越大,圆弧弯曲得越厉害;,R 越大, 则K 越小 , 圆弧弯曲得越小 .,有曲率近似计算公式,可以推导出曲率计算公式为,2.曲率K 的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,三、曲率圆与曲率半径,设曲线 在点M(a,b)处的,曲率为K,曲率圆,如图，以D为圆心，,为半径的与曲线在M点相切的圆.,D称为曲线在点M处曲率圆的中心，,实际中常用曲率圆在M 点邻近的一段弧近似代替 曲线弧.,称为曲线在点M处曲率半径.,设曲线在点M处的曲率为K,曲线在点M处的曲率半径与曲线在该点处 的曲率互为倒数：,例2 设工件内表面的截线为抛物线 现在要用砂轮磨削其内表面.问用直径多大 的砂轮才比较合适？,解,砂轮的半径应不大于抛物线上各点处曲率半径中的最小值, 抛物线在其顶点处的曲率最大，即曲率半径最小.,求 在顶点(0,0)处的曲率半径.,抛物线在其顶点处的曲率半径,因此选用砂轮的半