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第十一章 坐标平面上的直线,11.3.3 两条直线的位置关系,11.5.1 坐标平面上的直线拓展,直线系方程,一、直线系与直线系方程,含有某种共同属性的一类直线的集合，称为,直线系所有直线的方程的一般形式称为,直线系.,直线系方程.,平行系,共点系,二、平行系方程,已知直线,1.平行于该直线的直线系,2.垂直于该直线的直线系,方程：,方程：,其中m叫作参变量(参数),三、共点系方程,1.过定点 的直线系,2.过直线,方程：,(不含直线 ),与直线,交点的直线系方程：,(不含直线 ),例1.求与直线 垂直，且与坐标轴,围成的三角形周长为24的直线的方程.,解：设所求直线方程为,则其与坐标轴交于点,根据条件：,解得,，因此所求直线方程为：,或,例2. 求经过两直线：,平行的直线方程.,的交点，且与,分析：常规的构造性解法是求出 的交点.,解法一：利用过交点的直线系方程，设所求直线,方程为,整理得,平行于直线 ，解得,所求直线方程为,例2. 求经过两直线：,平行的直线方程.,的交点，且与,解法二：利用平行系方程，设所求直线方程为,两两相交且三线共点：,解得 ，故所求方程为,例3.,直线,恒过定点，求该定点的坐标.,解：,整理得,，直线恒过定点,上式表示过直线,与直线,交点的直线系方程.,因此联立直线方程,解得,解法二：取,取,，解得,，解得,直线,交于点,因此原直线恒过定点,例3.,直线,恒过定点，求该定点的坐标.,课堂练习,2.求经过直线,1.求与直线 平行且过点 的,直线方程.,与,交点且与 轴平行的直线方程.,3.已知,的顶点,边上的高所,在直线方程分别为,求,边上的高所在直线的方程.,课堂练习答案,1.,2.,解：设方程为,3.,解：,三边上的高交于垂心，,故设所求方程为：,该直线过点 ，解得,所求方程为,整理为,根据题意有 ，所求直线方程为,课外阅读材料,过定直线交点的直线系方程,直线,与,设其交点为,则定直线的点法向式方程为：,已知任意过点,相交，,的直线的点法向式方程为：,现证明 的方程可以写为：,基本定理，存在 使得,代入,中，整理得：,即直线l 的方程可以表示为：,课外阅读材料,过定直线交点的直线系方程,证：三条直线的法向量分别为,显然 不平行，取其为基底，则根据平面向量,即,证毕,直觉小游戏,的方程，如何求直线 分线段 的比？,如图，已知定点 及直线,测下你的思维是构造性的还是非构造性的？,如图，已知定点 及直线,构造性解法：先求直线 与直线 的交点 坐标.,非构造性解法：先设分点,再把坐标代入直
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