§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性.ppt

常用等价无穷小:,设x=x0+Dx 则当Dx0时 xx0 因此,Dy=f(x0+Dx)-f(x0),函数的连续性定义,间断点,复习,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,第二类间断点,下页,一、连续函数的和、积及商的连续性,二、反函数与复合函数的连续性,三、初等函数的连续性,1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、连续函数的和、积及商的连续性,定理1,例1 因为sin x和cos x都在区间(- +)内连续 所以tan x和cot x在它们的定义域内是连续的 三角函数 sin x、cos x、sec x、csc x、tan x、cot x 在其有定义的区间内都是连续的,首页,二、反函数与复合函数的连续性,定理2,如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续 那么它的反函数xf 1(y)在区间Iyy|yf(x) xIx上也是单调增加(或减少)且连续的,所以它的反函数y=arcsin x 在区间-1 1上也是连续的,下页,例2,同样 y=arccos x 在区间-1 1上是连续的 y=arctan x 在区间(- +)内是连续的 y=arccot x 在区间(- +)内是连续的,反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它们的定义域内都是连续的,下页,二、反函数与复合函数的连续性,定理2,如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续 那么它的反函数xf 1(y)在区间Iyy|yf(x) xIx上也是单调增加(或减少)且连续的,所以它的反函数y=arcsin x 在区间-1 1上也是连续的,例2,即： 单调连续的函数有单调连续的反函数.,定理3,下页,设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成,意义,1.极限符号可以与函数符号互换;,例如,注:,(1)把定理中的xx0换成x 可得类似的定理,提示:,例3,解,下页,定理3,设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成,设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 U(x0)Df o g 若函数 ug(x) 在点 x0 连续 函数 yf(u)在点u0g(x0)连续 则复合函数yfg(x)在点x0也连续,下页,定理4,注意 定理4是定理3的特殊情况.,定理3,设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成,设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 U(x0)Df o g 若函数 ug(x) 在点 x0 连续 函数 yf(u)在点u0g(x0)连续 则复合函数yfg(x)在点x0也连续,下页,定理4,例如,sin u 当-u+时是连续的,例4,解,内是连续的,三、初等函数的连续性,结论 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 一切初等函数在其定义区间内都是连续的,下页,1. 三角函数 2. 反三角函数 在其定义域内是连续的.,(均在其定义域内连续 ),定义区间是指包含在定义域内的区间.,例6,例5,解,解,下页,利用连续性求极限举例,特别地,例 证明,证,特别地,例7 求,令a x-1=t,解,则x=log a(1+t) x0时t0 于是,利用连续性求极限举例,另解:,特别地,=ln a,思考: 求,解:,原式,说明: 若,则有,练习,练习,小结,连续函数的和差积商的连续性.,复合函数的连续性.,初等函数的连续性.,定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法.,两个定理; 两点意义.,反函数的连续性.,续?,反例,处处间断,处处连续 .,反之是否成立?,作业 P68 3