经济数学43积分基本公式.ppt

,一. 不定积分的基本公式,ESC,4.3 积分的基本公式,4.3 积分的基本公式,三. 定积分的基本公式,二. 变上限定积分,ESC,一. 不定积分的基本公式,如下不定积分的基本积分公式:,根据导数 基本公式,ESC,一. 不定积分的基本公式,一. 不定积分的基本公式,ESC,一. 不定积分的基本公式,ESC,直接 积分,直接利用基本积分公式和不定积分的运算性质,有时须先将被积函数进行恒等变形,便可求得一些函数的不定积分.,例1 求不定积分 .,解,一. 不定积分的基本公式,ESC,例2,求不定积分 .,解,一. 不定积分的基本公式,ESC,求不定积分 .,例3,解,一. 不定积分的基本公式,ESC,求不定积分 .,例4,解,一. 不定积分的基本公式,ESC,例5,解,由不定积分的运算性质,由不定积分的基本积分公式,求不定积分:,一. 不定积分的基本公式,ESC,例6,求不定积分:,解,由不定积分 的运算性质,由不定积分的 基本积分公式,一. 不定积分的基本公式,ESC,例7,求不定积分:,解,由不定积分的运算 性质和基本积分公式,一. 不定积分的基本公式,ESC,例8,求不定积分:,解,由不定积分的运算 性质和基本积分公式,一. 不定积分的基本公式,ESC,例9 求,解,一. 不定积分的基本公式,ESC,例10 求 ,一. 不定积分的基本公式,ESC,例11 求 ,解 先把被积函数化简：,一. 不定积分的基本公式,ESC,ESC,二. 变上限定积分,ESC,二. 变上限定积分,ESC,二. 变上限定积分,而,(积分中值定理),ESC,二. 变上限定积分,由定理4.1可知：如果函数 在区间 上连续,则函数 就是 在区间 上的一个原函数,ESC,二. 变上限定积分,例12 计算 ,解 ,ESC,二. 变上限定积分,例13 求 ,解 当 时，有,ESC,二. 变上限定积分,例14 计算 ,解 设 ，则,所以，,ESC,二. 变上限定积分,ESC,三. 定积分的基本公式,但这种方法只能求出极少数函数的定积分,而且对于不同的被积函数要用不同的技巧.因此,这种方法远不能解决定积分的计算问题.,这里通过揭示导数与定积分的关系,引出计算定积分的基本公式:,牛顿莱布尼茨公式,把求定积分的问题转化为求被积函数的原函数问题.,ESC,三. 定积分的基本公式,证 由定理4.1，函数 是 的一个原函数，而函数 也是 的一个原函数所以 与 在 上仅差一个常数 ，,ESC,三. 定积分的基本公式,故 于是(4.3.4)式化为,ESC,三. 定积分的基本公式,即 .,即 ,ESC,三. 定积分的基本公式,定理4.2通常称为微积分基本定理,公式(4.3.3)称为牛顿-莱布尼茨公式这一定理揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分的联系,ESC,微积分基本定理,牛顿莱布尼茨公式,若函数 在闭区间 上连续,是 在 上的一个原函数,则,三. 定积分的基本公式,ESC,牛顿 莱布尼茨公式,是 在 上的一个原函数,则,该公式阐明了定积分与原函数之间的关系:,被积函数的任一个 原函数在积分上限与 积分下限的函数值之差.,定积分 的值,=,要求已知函数 在区间 上的定积分,只需求出 在区间 上的一个原函数 ,并计算出它由端点 到 端点 的改变量 即可.这样就使定积分的计算大 大简化了.,三. 定积分的基本公式,ESC,例15,求定积分:,解,由牛顿莱布尼茨公式,因 的一个原函数是,三. 定积分的基本公式,ESC,例16,求定积分:,由牛顿 莱布尼茨公式,由定积分的性质,三. 定积分的基本公式,解,ESC,例17,求定积分:,由定积分对区间的可加性,由于,因 的一个原函 数是 由牛顿 莱布尼茨公式,有,三. 定积分的基本公式,解,ESC,例18,三. 定积分的基本公式,解,已知 ，求定积分 .,ESC,三. 定积分的基本公式,运用两条积分运算性质和20个基本积分公式，有时需要对被积函数作适当的恒等变形而求得积分的方法，通常称为直接积分法.,注意： 1. 充分利用化乘除为加减或利用三角恒等式化简的方法.,2. 尽可能化假分式为多项式和真分式.,3. 要理解绝对值函数和分段函数的定积分求法.,4. 求解定积分只要求出一个原函数（不要加 ），再把上下限代入即可.,ESC,内容小结,1. 直接积分法:,利用恒等变形,积分性质,及 基本积分公式进行积分 .,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式 , 代数公式 ,2. 微积分基本定理,ESC,课堂练习,1.求下列不定积分,ESC,课堂练习,2