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第七节 泰勒公式 一、泰勒公式 二、函数的麦克劳林公式,在讨论函数的微分时，f (x) f (x0) + f (x0)(x-x0)， 当 xx0 时，其误差是比 x-x0 高阶无穷小。 令 R1(x)= f (x) f (x0) + f (x0)(x-x0) ，并假设 f (x) 在 x =x0 的某个邻域内具有二阶导数，易得 R1(x0)=0 , R1(x0)=0 , R1(x) = f (x) 。当 xx0 时，将无穷小R1(x) 与 (x-x0)2 相比较，利用柯西中值定理，有 ( 1 在 x 与 x0 之间),其中 在 x0 与 1 之间，从而也在 x0 与 x 之间。 于是 故 此式称为函数 f (x) 的一阶泰勒公式 , R1(x) 称为一阶 泰勒公式的余项，当 xx0 时，它是比 x-x0高阶无穷小 如果在一阶泰勒公式中， 将（在 x0 与 x 之间）用 x0 代替，则有近似公式 令,可用上述类似推理，得出 （ 在 x0 与 x之间） 此式称为函数 f (x) 的二阶泰勒公式， R2(x) 称为二阶 泰勒公式的余项，当 xx0 时，它是比 (x-x0)2 高阶的无 穷小。,定理2-9 泰勒 ( Taylor) 中值定理 如果函数 f (x) 在 含有 x0 的某个区间 (a , b) 内具有直到 (n+1) 阶的导 数，则对任意 x(a , b) ，有 其中 （ 在 x0 与 x之间） 此式称为函数 f (x) 在点 x0 处的 n 阶泰勒公式，或按 （ x-x0 ）的幂展开的泰勒公式，简称 n 阶泰勒公式。 Rn(x) 称为 n 阶泰勒公式的余项，当 xx0 时，它是比 (x-x0)n 高阶的无穷小。,二、函数的麦克劳林公式 在泰勒公式中，如果取 x0 =0 时，则 在 0与 x 之 间，因此可令 = x (01)，从而泰勒公式变形为 其中 此式称为函数 f (x) 的 n 阶麦克劳林 (Maclaurin) 公 式，或按 x 的幂展开的 n 阶麦克劳林公式。,例2-61 写出函数 f (x)=ex 的 n 阶麦克劳林公式。 解 因为 所以 注意 把这些值代入麦克劳林公式，得 可得 ex 用 n 次多项式表达的近似式 这时产生的误差为（设 x 0）,如果取 x=1，则得无理数 e 的近似式为 其误差为 当 n=10 时，可算出 e 2.718281，其误差不超过10-6 。 例2-62 求 f (x)=sin x 的 n 阶麦克劳林公式。 解 因为,又 f (0)=0，知它们顺次循环地取四个数: 0 , 1 , 0, -1, 于是按麦克劳林公式
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