高等数学第八节函数的连续性.ppt

第八节 函数的连续性,一、连续函数的概念,二、 函数的间断点,三、连续函数的四则运算,四、反函数的连续性,五、复合函数的连续性,六.初等函数的连续性,一、连续函数的概念,极限形式,增量形式,1、连续性概念的增量形式,在某过程中, 变量 u 的终值 u2 与它的,初值 u1 的差 u2 u1, 称为变量 u 在 u1处的,增量, 记为 u = u2u1.,定义,设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义, xU(x0) , 则称 x = x x0 为自变量 x 在 x0 点处的增量.,= f (x0 + x) f (x0 ),y = f (x) f (x0 ),x,y,O,x0,x,x,y,y = f (x),此时, x = x0 + x ,相应地, 函数在点 x0 点处,有增量 y,连续性概念的增量形式,则称 f (x) 在点 x0 处连续.,设 f (x) 在 U(x0) 内有定义. 若,定义,设 f (x) 在 U(x0) 内有定义, 若,则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.,2、函数连续性的定义 (极限形式),函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的.,定义,是整个邻域,函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：,函数 y = x2 在点 x = 0 处是否连续 ?, 函数 y = x2 在点 x = 0 处连续.,又,且, y = x 2 在 U(0) 内有定义,解,3.函数的左、右连续性,设函数 f (x) 在 x0, x0+ ) 内有定义. 若,则称 f (x) 在 x0 点处右连续.,设函数 f (x) 在 (x0 , x0 内有定义. 若,则称 f (x) 在 x0 点处左连续.,其中, 为任意常数.,定义,定理,讨论 y = | x |, x() 在点 x = 0 处, y = | x | 在点 x = 0 处连续.,x,y,y = | x |,O,的连续性.,解,讨论函数 f (x) =,x2, x 1,在 x = 1 处的连续性., 函数 f (x) 在点 x = 1 处不连续.,故函数 f (x) 在点 x = 1 处是左连续的.,x + 1, x 1,但由于,解,4.函数在区间上的连续性,设函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有定义.,若 x0(a, b), f (x) 在点 x0 处连续,则称 f (x) 在开区间 (a, b) 内连续, 记为,f (x)C( (a, b) ).,定义,若 f (x)C( (a, b) ), 且 f (x) 在 x = a 处,右连续, 在端点 x = b 处左连续, 则称函数,f (x) 在闭区间 a, b 上连续, 记为,f (x)C( a, b ).,对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性,定义,一般地, 如果函数 f (x) 在区间 I,上连续, 则记为 f (x) C( I ) .,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,现在有了连续性的概念,可把此结论表述为:,基本初等函数在其定义域内每点处均连续.即,基本初等函数在其定义域内是连续的.,二、 函数的间断点,函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：,若函数 在 点满足下述三个条件中的任何一个, 则称函数 在点 处间断, 点 称为函数,f (x) 的一个间断点：,定义,求函数间断点的途径:,2.函数间断点的分类,函数的间断点,(1) 第一类间断点,若 x0 为函数 f (x) 的一个间断点, 且,f (x) 的第一类间断点.,则称 x0 为函数,定义,在 x = 0 处的连续性.,y,x,O,1,y = sinx,yx+1,由图可知, 函数在 点 x0 处间断.,故 x = 0 是 f (x) 的第一类间断点.,将左、右极限存在但不相等的间断点, 称为函数的跳跃型间断点.,解,讨论,函数在 x =1 无定义,故 x =1 为函数的第一类间断点., x =1 为函数的间断点.,y,x,O,1,1,P(1,2),y x + 1,进一步分析该间断点的特点.,解,补充定义,则函数 f *(x) 在 x =1 连续.,f * (x) =,2 x = 1,即定义,这种间断点称为可去间断点.,处函数值后, 可得到一个新的连续函数 , 故将,在且相等, 即极限存在, 经过补充定义间断点,这个间断点的特点是该处的左、右极限存,第一类间断点,左右极限存在,极限不相等,极限相等、补充定义,(2) 第二类间断点,凡不属于第一类的间断点, 称为函数的第二类间断点.,这算定义吗？,定义,即左右极限至少有一个不存在的点.,讨论函数,x,y,O,在 x = 0 无定义,x = 0为函数的间断点,故 x = 0为函数,的第二类间断点.,解,在 x = 0 处无定义,又,不存在,故 x = 0 为函数的第二类间断点.,看看该函数的图形.,解,O,1,1,x,y,第二类间断点,左右极限至少有一个不存在,左右极限至少有一个为无穷,左右极限至少有一个振荡,回忆函数极限的四则运算,则,三、初等函数的连续性,1、连续函数的四则运算,设函数 f (x)、 g(x), fi (x) 在点 x0 处连续,则,即,有限个在点 x0 处连续函数的和仍是一个 在点 x0 处连续的函数. 即,(2) 有限个在点 x0 处连续的函数之积仍是一个在点 x0 处的连续函数. 即,(3) 两个在点 x0 处连续函数的商, 当分母不为 零时, 仍是一个在点 x0 处连续函数. 即,2、反函数的连续性,y = f 1(x) 的图形只是 y = f (x) 的图形绕直线 y = x 翻转 180 而成, 故单调性、连续性仍保持.,设函数 y = f (x) 在区间 I 上严格单调增加,区间 I* = y | y = f (x) , xI 上严格单调增加,(减少) 且连续.,定理 3,(反函数连续性定理),设函数 u = (x) 在点 x0 处连续, 且,这个条件有必要吗？,定理,(复合函数连续性定理),3、复合函数的连续性,如果 y = f (u) 在 u0 处连续,则 , 当 | u u0| 时,有 | f (u) f (u0) | ,再假设 u = (x) , 且在 x0 处连续, 即,亦即,证明:,| u u0 | = | (x) (x0) | ,故 对上面的 , ,当 | x x0| 时, 有,则 , 当 | x x0| 时,| u u0 | = | (x) (x0) | ,且有（假设可以构成复合函数）,| f (u) f (u0) | f ( (x) f ( (x0) ) | ,u = cos x 1 是在定义域内,的定义域是一个孤立点集,D = x | x = 2k , kZ ,每一点均不连续.,在上述定理 的条件下,在上述定理 的条件下, 极限符号可与连续函数 符号交换顺序.,推论1,设函数 u = (x) 的极限存在：,函数 y = f (u) 在点 u = a 处连续.,复合函数 f ( (x) 当 x x0 时的极限存在, 且,若复合函数 f ( (x) 在,内有定义, 则,推论 2,求,解,利用复合函数的连续性推论求极限,求,y = ln u 在其定义域内连续,故,（ y = ln u 在 u = 1 处连续）,解,4.初等函数的连续性,基本初等函数在其定义域内是连续的.,初等函数在其有定义的区间内连续.,注意两者的区别！,利用初等函数和反函数连续性求极限,求,连续性给极限运算带来