高考理科数学试题(辽宁卷.ppt

,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算法,第九章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分存在与区域分法无关。,在直角坐标系中，用平行于坐标轴的分割网，,则有：,即可运用累次积分计算,一、利用直角坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上例中，若截面积已知，则：,，则有,投影为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即是,代入前式：,说明：,计算底面是矩形的立体体积时，在平面直角,坐标系下，可化为两个单重积分计算.,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :,先对 x 积分不行,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,理论上，不同次序的累次积分结果相同，但不同次,序的累次积分其过程和复杂程度却大不相同，甚至,某种次序的累次积分无法计算.因而，实际计算时，,要注意积分次序的选择，必要时交换积分次序，交,换积分次序时，积分限要作相应变化.,例4. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1）若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域 ,说明：,2）计算二重积分时，还可以根据积分,被积函数的奇偶性,区域的对称性和,进行化简.,例5. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求下列二重积分：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、极坐标系及坐标变换,平面上一点,，若,直角坐标系下坐标为,，极坐标为,则,方程,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 将下列直角坐标系下的平面,区域在极坐标系下用不等式,表示.,（1）,（2）,1）,2）由曲线,围成的区域.,在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,及射线 =常数, 分划区域D 为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、利用极坐标计算二重积分,得：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以，极坐标系下的面积元素：,由直角坐标、极坐标关系：,设,则,特别, 对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 f 1 则可求得D 的面积,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 计算,解：,积分区域是圆域，用极坐标方便，则,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 计算,由,围成.,解：,积分区域如下：,例9. 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,坐标计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,(1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极坐标系情形:,若积分区域为,(2) 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分