函数及其表示-函数与导数.pptVIP

学案1 函数及其表示,返回目录,1.函数的基本概念 (1)函数定义 设集合A是一个非空的 ,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x , 在集合 B中都有 的数f(x)和它对应,那么就称f : AB为从集合A到集合B的一个函数，记作 .,数集,唯一确定,y=f(x),xA,考点分析,返回目录,(2)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的 .显然,值域是集合B的子集. (3)函数的三要素: 、 和 . (4)相等函数:如果两个函数的 相同，并且 完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据. 2.函数的表示法 表示函数的常用方法有: 、 和 .,定义域,值域,定义域,值域,对应法则,定义域,对应关系,解析法,图象法,列表法,3.映射的概念 设A,B是两个非空的集合,如果按照某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,则称对应f:AB是集合A到集合B的一个 . 4.由映射的定义可以看出,映射是 概念的推广, 函数是一种特殊的映射,要注意构成函数的两个集合A,B必须是 .,非空数集,返回目录,映射,函数,返回目录,考点一 函数的概念,下列四组函数中,f(x)与g(x)是否为同一函数,为什么? (1) f(x)=lgx, g(x)= lgx2; (2) f(x)=x, g(x)= ; (3) f(x)= , g(x)=logaax; (4) f(x)=lgx-2, g(x)=lg .,【分析】 判断两个函数是否为同一函数,关键是判断它们的对应法则、定义域和值域是否分别相同.如果有一个不同,它们便不是同一函数.,题型分析,返回目录,【解析】 (1)f(x)的定义域为(0,+),g(x)的定义域为(-,0)(0,+),定义域不同,故f(x)与g(x)不是同一函数. (2)函数f(x)的值域为(-,+),g(x)的值域为0,+),值域不同,故f(x)与g(x)不是同一函数. (3)因为f(x)=x(x0),g(x)=x(xR),定义域不同,故f(x)与g(x)不是同一函数. (4)因为f(x)=lgx-2(x0),g(x)=lg =lgx-2(x0),所以f(x)与g(x)的对应法则、定义域和值域都分别相同 , 故它们是同一函数.,【评析】 (1) 只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一函数,换言之就是: 定义域不同,两个函数也就不同. 对应法则不同,两个函数也是不同的. 即使定义域和值域都分别相同的两个函数 , 它们也不一定是同一函数 , 因为函数 的定义域和值域 不能唯一地确定函数的对应法则. (2)函数的对应法则可以化简,例如题型一 (3) (4) 中的函数,再比如函数f(x)=|x|和g(x)= ,从表面上看它们的对应法则不同,但实质上是相同的. (3) 当一个函数的对应法则和定义域给定后,它的值域便随之确定, 所以 , 函数的三要素可简化为定义域、对应法则两要素.,返回目录,返回目录,对应演练,判断下列各组函数是否为同一函数. (1) f(x)=x2+2x-1,g(t)=t2+2t-1; (2) f(x)= , g(x)=x+1; (3) x+1 (-1x0) x-1 (0x1),g(x)=f-1(x).,(4) f(x)=,返回目录,(1)两函数的定义域 、值域 、对应法则均相同 ，所以它们是同一函数. (2)y= =x+1,但x1,而y=x+1中xR , 所以它们不是同一函数. (3)函数f(x)= 的定义域为x|x0 ; 而函数g(x)= 的定义域为x|x-1或x0 , 它们的定义域不同,所以不是同一函数. x-1,(0x1) x+1,(-1x0), f(x)与g(x)定义域、值域、对应法则分别相同 ，故它们是同一函数.,(4)g(x)=f-1(x)=,返回目录,考点二 映射的概念,下列对应是否为从A到B的映射？ (1)A=R，B=R，f:xy= ; (2) (3)A=x|x0,B=R,f:xy,y2=x; (4)A=平面内的矩形，B=平面内的圆，f:作矩形的外接圆.,返回目录,【解析】 (1)当x=-1时，y值不存在，所以不是映射. (2)A，B两集合分别用列举法表述为 A= 2,4,6, 由对应法则f:ab= ，是映射. (3)不是映射，如A中元素1有两个象1. (4)是映射.,【分析】解此题需要明确以下两点： 集合A的元素是什么； 什么是A到B的映射.,【评析】欲判断对应法则 f : AB是否是从 A 到 B 的映射，必须做两点工作：明确集合A，B中的元素. 根据对应法则判断 A中的每个元素是否在 B 中能找到唯一确定的对应元素.,返回目录,返回目录,对应演练,设A=0,1,2,4, 下列对应法则能构成A到B的映射的是（ ） A.f:xx3-1 B.f:x(x-1)2 C.f:x2x-1 D.f:x2x,C(由映射的定义知C满足题意.故应选C.),C,考点三 求函数解析式,根据下列条件分别求出函数f(x)的解析式: (1) (2 )f(x-2)=x2+3x+1; (3)f(x)+2 =3x; (4)已知二次函数f(x)满足f(3x+1)=9x2-6x+5,求f(x).,返回目录,【分析】 (1)可用配凑法. (2)可将x-2看作一个整体,根据函数的定义,寻找 x2 + 3x +1与x-2的对应关系. (3)因考虑到x与 的倒数关系 , 可通过解方程组来求解 析式. (4)可用待定系数法求解析式,但此题也可采用多种方法.,返回目录,【解析】 (1)因 又 -2或 2, 则f(x)=x2-2,x(-,-2)(2,+).,返回目录,(2)令x-2=t,则x=t+2,代入已知得 f(t)=(t+2)2+3(t+2)+1=t2+7t+11, 所以f(x)=x2+7x+11,xR. (3)由已知f(x)+2f =3x. 以 代替中的x,得f +2f(x)= . 由解得f(x)= -x(x0). (4)解法一：换元法.令3x+1=t,则x= . f(t)=9 -6 +5=t2-2t+1-2t+2+5=t2-4t+8. f(x)=x2-4x+8.,返回目录,解法二:配凑法. f(3x+1)=9x2-6x+5=(3x+1)2-12x+4=(3x+1)2-(3x+1)+8, f(x)=x2-4x+8. 解法三:待定系数法. 设f(x)=ax2+bx+c(a0),则 f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c=9ax2+(6a+3b)x+a+b+c. f(3x+1)=9x2-6x+5, 9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5. 9a=9 a=1 6a+3b=-6 b=-4 a+b+c=5 c=8, f(x)=x2-4x+8.,比较两端系数,得,返回目录,【评析】（1）求解析式的目标就是求定义域与值域中对应元素的对应关系式. (2)换元法求解析式时，要注意换元变量范围应保持一致.例如:已知f(cosx)=cosx，求f(x).可求得f(x)=x，但此处应有|x|1. (3)求解析式的几种常见方法: 代入法 即已知f(x),g(x),求f(g(x)用代入法,只需将g(x)替换f(x)中的x即得; 换元法 已知f(g(x),g(x),求f(x)用换元法:g(x)=t,解得x=g-1(t),然后代入f(g(x)中即得f(t),从而求得f(x).当f(g(x)的表达式较简单时,可用“配凑法”(其实质是换元素);,返回目录,待定系数法 当函数f(x)类型确定时,可用待定系数法.如:已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x). 解析:因为已知f(x)是一次函数,故可设f(x)=ax+b,从而根据题意列出恒等式,确定a,b的值. 解:设f(x)=ax+b, 则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b+2a-2b-2ax =ax+b+5a=2x+17, 所以a=2,b=7,所以f(x)=2x+7;,方程组法 方程组法求解析式的实质是用了对称的思想.一般来说，当自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时，均可用此法. 在解关于f(x)的方程时,可作恰当的变量代换,列出f(x)的方程组,求得f(x). 如:已知f(x)满足f(x)+2f(-x)=x,求f(x)的解析式. 解:f(x)+2f(-x)=x, 用-x替换x得f(-x)+2f(x)=-x. 联立消去f(-x),即得f(x)=-x.,返回目录,对应演练,根据下列条件分别求出函数f(x)的解析式： (1) f( +1)=x+2 ; (2) f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.,返回目录,(1)令t= +1,t1,x=(t-1)2. 则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, 即f(x)=x2-1,x1,+). (2)设f(x)=ax2+bx+c(a0), f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c, 则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2. 4a=4 a=1 4a+2b=2, b=-1, 又f(0)=3 c=3,f(x)=x2-x+3.,返回目录,返回目录,考点四 分段函数,x2,x0 1,x=0 - ,x0. (1)画出函数的图象; (2)求f(1),f(-1),ff(-1)的值.,【分析】考虑特殊函数的图象在某区间内的形状,特别要注意区间的端点处.,已知函数f(x)=,返回目录,【评析】分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的,处理分段函数的问题时,首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段,从而选相应的关系式.对于分段函数,注意处理好各段的端点.,【解析】 (1)分别作出f(x) 在x0,x=0,x0段上的图象, 如图所示,作法略. (2)f(1)=12=1,f(-1)=- =1,ff(-1)=f(1)=1.,返回目录,对应演练,如图，OAB是边长为2的正三角形，直线x=t(0t2)截这个三角形所得的位于此直线左方的图形的面积为f(t). (1) 求函数y=f(t)的解析式， 并指明它的定义域; (2) 求函数y=f(t)的值域.,返回目录,（1）当0t1时，所截图形是一个直角三角形，其面积f(t)= t2tan60= t2; 当1t2时，所截图形是一个四边形 ，它的面积可由正三角形OAB的面积减去一个直角三角形的面积来计算，即 f(t)= 2 - (2-t)(2-t)tan60 = - (2-t)2; 当t=2时，所截图形即OAB，f(t)= . t2，0t1. - （2-t）2,1t2. 此函数的定义域为(0,2.,综上,f(t)=,返回目录,（2）当0t1时，0 t2 ; 当1t2时， - (2-t)2 . 故函数f(t)的值域为(0, .,返回目录,正确理解函数的概念是掌握好本学案内容的关键 . 函数的本质是一种特殊对应关系，它的特殊性在于:(1) 它是非空数集到非空数集的对应;(2)定义域中的每个元 素只有一个函数值；（3）定义域中的每个元素一定有 函数值.确定一个函数需要三个要素:定义域；对应法则 ； 值域.对应法则是规定元素对应关系的法则，它不一定能够用解析式表示 ，如列表法和图象法表示的函数.对于 f(x)，可以理解为根据对应法则f，自变量x对应的,高考专家助教,函数值；也可以理解为