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函数的单调性与极值,一、函数的单调性,二、函数的极值,三、函数的最值,一、函数的单调性,从几何图形上来分析,可见，函数的单调性可以用导数的符号来判定。,同样，当 时，曲线在 内是下降。,我们有如下定理：,注意：,（1）将定理中的闭区间 换成其他各种区 间定理的结论仍成立。,考察函数,考察函数,例1 判定函数 的单调性。,解 的定义域是 。,例2 求函数 的单调区间。,解 的定义域是,令 ，得 ，,它们将定义域,当 时，,当 时， 。,所以 的单调增加区间是 和 ；单 调递减区间是,例3 确定函数 的单调区间。,解 的定义域是,分成三个区间,令 ，得 ，又 处导数不存在，,， 这两点将 分成三个区间，,列表分析 在各个区间的符号：,二、函数的极值,设函数 在点 的某邻域内有定义，,1 定义,函数的极大值和极小值统称为极值，极大值点和,极小致点统称为极值点。,注意：极值是局部性的。因而，函数可以有许多个极大值和极小值，并且极大值不一定大于极小值。,2 极值存在的必要条件和充分条件,定理2指出：可导函数的极值点必定是驻点。,使 的点 称为函数 得驻点。,反过来，驻点不一定是极值点。,考察函数,另一方面，函数不可导的点也可能是极值点。,考察函数,定理3（极值的第一充分条件） 设函数,在点 连续，且在点 的某一空心邻域,内可导。,例4 求函数 的极值。,解 的定义域是,令 ，得驻点 。,当 时，,当 时，,当 时， 。,在 处取得极小值,例5 求函数 的极值。,令 ，得驻点 ，而 时 不存在。,由定理3知， 在 处取得极大值 。,因此函数只可能在这两点取得极值，列表讨论如下：,不存在,函数 的图形如图,函数在驻点处二阶导数存在时，还可以用函数的二阶导数判定函数是否有极值。,（1）如果 ，则 在 取得极大值；,（2）如果 ，则 在 取得极小值。,例6 求函数 的极值。,解 的定义域是,令 ，得到两个驻点 。,为函数 的极小值。,又,函数的极值是局部性概念，而最值是一个全局性概念。,注意下述三种情况：,（1）如果 在 上是单调函数；,三、函数的最值,1 闭区间a，b上的连续函数,解,解 如图设小正方形的边长为x，则盒底的边长为,令 ，得 （舍去）。又,所以函数 在 处取得唯一极大值，此极大值就是 最大值。因此，当截去的正方形的边长等于所给正方 形铁皮边长的 时，所做的方盒容积最大。,方盒的容积为：,解 如图，设容器的底面半径为 ，高为 ，,则表面积为,所以,得驻点,由已知,得,故,所以，所做容器的高和底直径相等时，所用材料最省。,S有唯一驻点，而实际容器存在最小表面积，因 此求得的驻点为最小值点，此时,解 设 , 则,解 利润为,令 ，得驻点 。,
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