重庆市2018年中考数学一轮复习第六章圆数学文化讲堂五练习.docx

数学文化讲堂(五)一 圆周率材料一历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，在我国，东汉初年周髀算经里就有“径一周三”的故率，公元前3世纪古希腊数学家阿基米德通过圆内接和外切正多边形逼近圆周的方法得到圆周率介于3和3之间我国魏晋时期刘徽首创“割圆术”，南朝祖冲之进一步求得的值，他是第一个将其精确到7位的人(华师九下P68)第1题图1. 设半径为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n6时，3，那么当n12时，_(结果精确到0.01，参考数据：sin75cos150.966)二 九章算术方田九章算术与古希腊欧几里得的几何原本并称现代数学的两大源泉，是中国古代算经十书中最重要的一种，它系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，标志着以算筹为基础的中国古代数学体系的正式形成全书分为9章，卷一“方田”中，详细记述了扇形、弓形、环形的面积计算方法材料二“方田”篇中所记：宛田面积术曰：以径乘周，四而一其中，宛田：扇形的田地；径：扇形的直径；周：扇形的弧长；意思是：扇形的面积直径弧长4.2. 请完成下列问题：(1)请用所学公式证明古人方法是否正确；(2)我们将弧长与半径相等的扇形叫作“等边扇形”，试求面积为16的“等边扇形”的弧长为_材料三“方田”篇中还记载：弧田面积术曰：以弦乘矢，矢又自乘，二而一即给出了计算弧田面积的经验公式：(弦矢矢矢)2.弧田(如图)，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差(弓形的高)3. 按照上述经验公式计算所得的弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为120，弦长等于9米的弧田(1)计算弧田的实际面积；(2)按照材料中的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田面积相差多少平方米？(结果保留两位小数，1.732，取3.14)三 周髀算经周髀算经，原名周髀，是算经的十书之一中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世纪，主要阐述当时的盖天说和四分历法材料四周髀算经中记载：周公与商高对话中，商高提出“环矩以为圆”注解1：中国数学史大系第一卷中解释为：把矩的长短两只当作“规”的两只脚，直立于平面上，以矩的一端为枢，旋转时，另一端即可成圆如图.注解2：中国近代著名数学家李俨注解：“直角三角形固定弦，其直角顶点的轨迹便是圆”，如图，数学家梁宗臣的看法与李俨相同，并在其世界数学史简编注明请完成下列问题：4. 注解1中，阐述了圆的定义：_；5. 注解2中说明直径所对的圆周角为_；6. 已知一直角三角形的斜边长为4，结合材料，请探究这个直角三角形的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由四 婆罗摩笈多定理婆罗摩笈多，是一位印度数学家和天文学家，写了两部关于数学和天文学的书籍他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算仅晚于中国的九章算术，而他的负数乘除法则在全世界都是领先的他还提出了著名的婆罗摩笈多定理材料五婆罗摩笈多定理的内容及部分证明过程如下：已知：如图，四边形ABCD内接于O，对角线ACBD于点P，PMAB于点M，延长MP交CD于点N，求证：CNDN.证明：在ABP和BMP中，ACBD，PMAB，BAPABP90，BPMMBP90.BAPBPM.DPNBPM，BAPBDC，7. (1)请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成剩余的证明部分(2)已知：如图，ABC内接于O，B30，ACB45，AB2.点D在O上，BCD60，连接AD，与BC交于点P.作PMAB于点M，延长MP交CD于点N，则PN的长为_第7题图五 阿基米德折弦定理阿基米德(公元前287公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一他与牛顿、高斯并称为三大数学王子阿拉伯AlBinmi(973年1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据AlBinmi译本出版了俄文版阿基米德全集，第一题就是阿基米德折弦定理材料六如图，AB和BC是O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦)，BCAB，点M是的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CDABBD.下面是运用“截长法”证明CDABBD的部分证明过程证明：如图，在CB上截取CGAB，连接MA，MB，MC和MG.M是的中点，MAMC.8. (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图，已知等边ABC内接于O，AB2，D为上一点，ABD45，AEBD于点E，则BDC的周长是_第8题图答案1. 3.11.2. 解：(1)正确S扇形lrlld；(2)4.【解法提示】设半径为r，“等边扇形”的弧长与半径相等，lr，162rr4，解得r4，扇形的弧长l4.3. 解：(1)如解图，在OAB中，AB9，AOB120，则AOC60，ACO90，则AC，OA3，OC.则可知扇形的半径r3，所以SAOB9，S扇形AOB9，所以S弧田(9)平方米第3题解图(2)由(1)知矢长为rOA，根据经验公式的S弧田9()2()平方米91.50(平方米)按照弧田面积经验公式所得结果比实际少1.50平方米4. 平面上到定点的距离为定值的所有的点的集合即为圆5. 直角6. 解：存在由注解2可知，该直角三角形的直角顶点在直径为4的圆上，该直角三角形斜边上的高的最大值为2，斜边长为4是定值，该直角三角形的面积存在最大值，且面积的最大值为424.7. (1)剩余证明过程如下：DPNBDN，DNPN，同理，PNCN，CNDN.(2)解：1【解法提示】ACB45，BCD60，ACD105.又DB30，DAC180ACDD45，APC180DACACB90，PAPC.在ABP和CDP中，ABPCDP，CDAB2.ADBC，PMAB，由婆罗摩笈多定理得，CNDN，CPD90，PNCD1.8. 解：(1)剩余证明过程如下：CGAB，AC，MBAMGC(SAS)，MBMG.在MBG中，MDBG，BDG