高中数学推理与证明6.3数学归纳法1分层训练湘教版.docx

6.3数学归纳法(一)一、基础达标1某个命题与正整数有关，如果当nk(kN*)时，该命题成立，那么可推得nk1时，该命题也成立现在已知当n5时，该命题成立，那么可推导出()A当n6时命题不成立 B当n6时命题成立C当n4时命题不成立 D当n4时命题成立答案B2一个与正整数n有关的命题，当n2时命题成立，且由nk时命题成立可以推得nk2时命题也成立，则()A该命题对于n2的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取值无关D以上答案都不对答案B解析由nk时命题成立可以推出nk2时命题也成立且n2，故对所有的正偶数都成立3在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步验证n等于()A1 B2 C3 D0答案C解析因为是证凸n边形，所以应先验证三角形，故选C.4若f(n)1(nN*)，则n1时f(n)是()A1 B.C1 D以上答案均不正确答案C5用数学归纳法证明12222n12n1(nN*)的过程中，第二步假设当nk(kN*)时等式成立，则当nk1时应得到_答案12222k12k2k11解析由nk到nk1等式的左边增加了一项6已知f(n)(nN*)，则f(k1)_.答案f(k)7用数学归纳法证明(nN*)证明(1)当n1时，左边1，右边，等式成立(2)假设当nk(k1，kN*)时等式成立，即，当nk1时，所以当nk1时等式也成立由(1)(2)可知，对于任意nN*等式都成立二、能力提升8用数学归纳法证明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，从k到k1左端需要增乘的代数式为()A2k1 B2(2k1)C. D.答案B解析nk1时，左端为(k2)(k3)(k1)(k1)(k1)k(2k2)(k1)(k2)(kk)(2k1)2，应增乘2(2k1)9已知f(n)，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)答案D解析观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，项数为n2n1.10以下用数学归纳法证明“242nn2n(nN*)”的过程中的错误为_答案缺少步骤(1)，没有递推的基础证明假设当nk(kN*)时等式成立，即242kk2k，那么242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即当nk1时等式也成立因此对于任何nN*等式都成立11用数学归纳法证明：12223242(1)n1n2(1)n1.证明(1)当n1时，左边1，右边(1)111，结论成立(2)假设当nk时，结论成立即12223242(1)k1k2(1)k1，那么当nk1时，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)k(k1)(1)k(1)k11.即nk1时结论也成立由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立12已知数列an的第一项a15且Sn1an(n2，nN*)，Sn为数列an的前n项和(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明an的通项公式(1)解a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜想an.(2)证明当n2时，a252225，公式成立假设nk(k2，kN*)时成立，即ak52k2，当nk1时，由已知条件和假设有ak1Ska1a2a3ak551052k2.552k152(k1)2.故nk1时公式也成立由可知，对n2，nN*，有an52n2.所以数列an的通项公式为an.三、探究与创新13已知数列an的前n项和Sn1nan(nN*)(1)计算a1，a2，a3，a4；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论解(1)计算得a1；a2；a3；a4.(2)猜想an.下面用数学归纳法证明：当n1时，猜想显然成立假设nk(kN*)时，猜想成立，即ak.那