函数的最大值与最小值(15).ppt

1.3.3函数的最大值与最小值,一、复习引入,如果在x0附近的左侧 f/（x）0 ,右侧f/(x)0 ,那么,f(x0) 是极小值.,2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右两侧的导数异号时取到.,3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.,1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:,二、新课函数的最值,观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象，你能找出函数y=f（x）在区间a，b上的最大值、最小值吗？,发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_。,f(x1)、f(x3),f(x2),f(b),f(x3),问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？,三、例题选讲,例1求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小值.,解:,令 ,解得x=-1,0,1.,当x变化时, 的变化情况如下表:,从上表可知,最大值是13,最小值是4.,一般地，求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：,:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);,:将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围 内讨论问题,是一个整体性的概念.,(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内 的不一定有最值.,函数 y = x + 3 x9x在 4 , 4 上 的最大值为 ,最小值为 。,分析: (1) 由 f (x)=3x +6x9=0,(2) 区间4 , 4 端点处的函数值为 f (4) =20 , f (4) =76,例2、,得x1=3，x2=1,函数值为f (3)=27, f (1)=5,当x变化时，y 、 y的变化情况如下表：,比较以上各函数值，,可知函数在4 , 4 上的最大值为 f (4) =76，最小值为 f (1)=5,求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。,练 习,最大值 f (1)=3，最小值 f (3)= 61,最大值 f (3/4)=5/4，最小值 f (5)= 5+,最大值 f (/2)=/2，最小值 f (/2)= /2,（04浙江文21）（本题满分12分） 已知a为实数， （）求导数 ； （）若 ，求 在-2，2上的最大值和最小值； （）若 在（-，-2和2，+）上都是递增的，求a的取值范围。,例3,练习1:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间-3,4上的最 大值和最小值.,答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.,四、实际应用,1.实际问题中的应用.,在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的 最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路.,在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.,在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值, 那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 这里所说的也适用于开区间或无穷区间.,满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.,例1:在边长为60cm的正 方形铁皮的四角切去相等 的正方形,再把它的边沿虚 线折起(如图),做成一个无 盖的方底箱子,箱底边长为 多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?,解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0x60).,令 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 16000.,由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.,答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.,类题:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径 应怎样选取,才能使所用的材料最省?,解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2rh+2r2.,由V=r2h,得 ,则,令 ,解得 ,从而 ,即h=2r.,由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.,答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.,(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或