函数的单调性与极值(18).pptVIP

前面，我们学习了导数的概念、几何意义及求导方法，今天开始我们学习导数的应用。我们将利用导数方法（微分法）解决初等数学中大家感到困难的函数单调性的判定、极值、最值问题及曲线图形的描绘问题，并利用导数解决一些生产、生活中的实际经济学问题。,具体内容有：,1.单调性与极值,2.最值方法在实际中的应用,3.曲线的凹向、拐点与函数图形的描绘,4.经济学中常见的边际与弹性分析,第三章 导数的应用,复 习,导数的几何意义 函数的单调性与图形的关系,1,2,a,1,2,b,b,a,y = f(x),y = g(x),K切= f (x0),f (x)0,f (x)0,一、函数的单调性,3.2 函数的单调性,定理1（判别单调性的充分条件）,在函数f(x)可导的区间I内：,（1）若f (x) 0，则函数f(x)单调增加；,（2）若f (x) 0，则函数f(x)单调减少；,0,0,二、应用举例,例1 确定函数f(x)=exx 1的单调区间.,解,函数的定义域是 (,+),由于,f (x)=ex1,令f (x)=0,得驻点 x=0,x=0将定义域分成两个部分区间：,(,0)和(0,+),在区间(,0) 内，f (x),函数单调减少；,在区间(0,+)内，f (x),函数单调增加.,使 f (x)=0的点x0称为函数f(x)的驻点。,确定函数f(x)的单调区间，其解题程序是：,（1）确定函数的定义域；,（2）求导数f (x)，确定函数的驻点和导数不存在的点，,这些点将函数的定义域分成若干个部分区间；,（3）在各个部分区间内判别f (x)的符号，,从而确定f(x)在相应区间内的单调增减性.,例2 讨论函数f(x)= 的单调区间.,解,函数的定义域是 (,+),由于,该函数没有驻点，,但当x=0时，导数f (x)不存在。,x =0将定义域分成两个部分区间：,(,0)和(0,+),0,在区间(,0) 内，f (x),函数单调减少；,在区间(0,+) 内，f (x),函数单调增加.,0,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .,例如,列表分析,( 1),( 1, 2 ),(2,+),2,+,0,0,+,1,例3 确定函数f(x)= 的单调区间.,解,函数的定义域是 (,+),由于,令f (x)=0,得驻点 x1=1, x2=2,x1=1和x2=2将定义域(,+)分成三个部分区间：,函数f(x)单调增加区间是 (,1)和(2,+),单调减少区间是 (1,2).,练习,求函数,的单调区间。,补充例题：,证,一、极值的概念,a,b,x1,x2,x3,x4,f (x3),f (x1),f (x4),f (x2),x,x,3.2 函数的极值,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大值点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小值点 ,称 为函数的极小值 .,函数的极大值与极小值统称为函数的极值 。函数的极大值点与极小值点统称为函数的极值点。,注意:,极值可能出现在驻点和不可导点。（导数为0或不存在的点）,函数的极值是函数的局部性质。 （极大值未必大于极小值，极小值未必小于极大值）,例如,为极大点 ,是极大值,是极小值,为极小点 ,若函数f(x)在点x0处有极值，且f (x0)存在，则必有f (x0)=0。,定理2（极值存在的必要条件）,二、极值的判定,若函数f(x)在点x0的某邻域(x0 , x0+)内连续并且可导，（但f (x0)可以不存在），则,定理3（判别极值的第一充分条件）,(是极值点情形),(非极值点情形),如图所示：,求可导函数极值的步骤:,( 0),(0 ,1),(1,+),1,+,0,0,+,无极值,极大值,0,由表可知,例1 求函数f(x)= 的极值.,解,函数f(x)的连续区间是 (,+),由于,令f (x)=0,得驻点 x1=0, x2=1,x1=0和x2=1将区间(,+)分成三个部分区间：,列表判别极值,列表,( 0 ),(0 1 ),(1,+),+,不存在,+,极大值,极小值,0,1,0,例2 求函数f(x)= 的极值.,解,函数f(x)的连续区间是 (,+),由于,令f (x)=0,得驻点 x=1,又当x=0时，函数f(x)的导数不存在,x=0和x=1将区间(,+)分成三个部分区间：,f(0)=0是极大值，,练习,1.求函数 y = (x1),的极值。,2.,1.求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,解,列表讨论,10,2.,-22,小 结,1.函数单调性的确定方法,（1）确定函数的定义域；,（2）求导数f (x)，确定函数的驻点和导数不存在的点，,这些点将函数的定义域分成若干个部分区间；,（3）在各个部分区间内判别f (x)的符号，,从而确定f(x)在相应区间内的单调增减性.,小 结,2.函数极值的确定方法,（1）确定函数的连续区间；,（2）求导数f (x