函数的极值与导数(14).ppt

,3.3.2利用导数 研究函数的极值,单调性与导数有何关系?,设函数y=f(x)在某个区间内可导，,复习:,如果 ，则 为增函数；,如果 ，则 为减函数；,如果 恒成立，则 为常数函数；,已知函数 f(x)=2x3-6x2+7 (1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;,【复习与思考】,(2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?,一、函数的极值定义,一般的，设函数f(x)在点x0附近有定义，,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；,函数的极大值与极小值统称为极值. (极值即峰谷处的值-不一定最大或最小）,使函数取得极值的点x0称为极值点,观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.,(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;,(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;,(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;,【关于极值概念的几点说明】,(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。,【问题探究】极值与导数的关系,函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点附近的导数符号有什么规律?,在极大值点附近,f (x)0,f (x)0,在极小值点附近,f (x)0,f (x)0,极值点的导数值都为0,2019/5/24,探索思考:,导数值为0的点一定是函数的极值点吗?,可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零.,因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.,例1 求函数 的极值。,解：定义域为R，y=x2-4,由y=0可得x=-2或 x=2,当x变化时，y, y的变化情况如下表：,因此，当x=-2时， y极大值=28/3,当x=2时， y极小值=4/3,二、求可导函数f(x)极值的 步骤：,(2)求导数 ；,(3)求方程 的根；,(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格,检查 在方程根左右的符号 如果左正右负（+ -）， 那么 在这个根处取得极大值；,如果左右符号不变，那么该点不是极值点。,(1) 确定函数的定义域；,如果左负右正（- +）， 那么 在这个根处取得极小值；,解：定义域为R， y=3x2-27。,由y=0可得x1=-3, x2=3,当x变化时，y , y的变化情况如下表：,因此，当x=3时， y极小值=-54， 当x=-3时， y极大值=54，,点评：一点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号。,A,注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别,、,练习 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，当x=-1时取得极大值7；当x=3时取得极小值， 求这个极小值及a、b、c的值。,如图所示：,在求函数的极值问题时，还要注意观察函数的特殊情形,如图中的 ，,是不存在的，,但 是函数的极小值,巩固练习,（1）关于函数的极值，下列说法正确的是( ) A导数为零的点一定是函数的极值点 B函数的极小值一定小于它的极大值 Cf(x)在定义域内最多只能有一个极大 值和一个极小值 D若f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在 (a，b)内不是单调函数,D,C,2019/5/24,3、设函数f(x)ax3bx2cx，在 x1和x1处有极值，且f(1)1. 求a、b、c的值，并求出相应的极值,小结：,1、函数的极值定义,2、求函数极值的步骤：,(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格,(1) 确定函数的定义域；,(2)求导数 ；,(3)求方程 的根；,检查 在方程根左右的符号,小结：,3、关于极值,(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点 附近的大小情况,(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;,(3)函数的极大(小)值可能