2018高考数学二轮复习难点2.8立体几何中的折叠问题最值问题和探索性问题测试卷理.docx

立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题（一）选择题（12*5=60分）1在等腰梯形中，,为的中点，将与分别沿、向上折起，使、重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（ ）A B C. D【答案】C 2将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角.则四面体的内切球的半径为（ ）A1 B C. D【答案】D【解析】设球心为，球的半径为，由，知，故选D.3【湖南省株洲市2018届质量检测】已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱，分别交于三点，若为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）A. B. 3 C. D. 4【答案】C【解析】建立直角坐标系如下：点M在侧棱上，设M，点N在上，设，点在上，设，则 因为为直角三角形，所以，斜边 ，当时取等号.故答案为.故选C. 4已知，如图，在矩形中，分别为边、边上一点，且，现将矩形沿折起，使得，连接，则所得三棱柱的侧面积比原矩形的面积大约多（ ）A.68% B.70% C.72% D.75%【答案】D 5【河南省漯河市2018届第四次模拟】已知三棱锥中， ， ，点在底面上的射影为的中点，若该三棱锥的体积为，那么当该三棱锥的外接球体积最小时，该三棱锥的高为（ ）A. 2 B. C. D. 3【答案】D 6已知边长为的菱形中，现沿对角线折起，使得二面角为120，此时点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A B C D【答案】C【解析】如图分别取的中点,连,则容易算得,由图形的对称性可知球心必在的延长线上,设球心为,半径为,则由题设可得,解之得,则,所以球面面积,故应选C7【福建省南安2018届第二次阶段考试】如图所示，长方体中，AB=AD=1,AA1=面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A 8如图，边长为的等边三角形的中线与中位线交于点，已知是绕旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（ ）；平面；三棱锥的体积有最大值A B C D【答案】C【解析】中由已知可得面，根据线面平行的判定定理可得平面当面面时，三棱锥的体积达到最大故选C 9【河南省林州市2018届8月调研】如图，已知矩形中， ，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D10.一块边长为的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3），则该容器的体积为（ ）A B C. D【答案】B 11【河南省师范大学附中2018届8月】把边长为1的正方形沿对角线折起，使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】C在平面ABD上的射影为BD的中点O，在边长为1的正方形ABCD中， ，所以：左视图的面积等于 12【湖北省武汉市2018届调研联考】设点是棱长为2的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】A（二）填空题（4*5=20分）13.如图，平面，交于，交于，且，则三棱锥体积的最大值为 【答案】【解析】因为平面，所以,又，,又因为,所以平面,所以平面平面,，平面平面,所以平面,所以,所以平面,由可得，所以,所以三棱锥体积的最大值为.14【河北衡水金卷2018届模拟一】如图，在直角梯形中， ， ， ，点是线段上异于点， 的动点， 于点，将沿折起到 的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为_【答案】 15已知边长为的菱形中，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积 【答案】【解析】如图所示，设，由勾股定理可得，四面体的外接球的表面积为，故答案为16【南宁市2018届12月联考】如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是_（将符合题意的选项序号填到横线上）.所在平面；所在平面；所在平面；所在平面.【答案】 (三)解答题（4*10=40分）17如图，在正方形中，点，分别是，的中点，将分别沿，折起，使两点重合于.（）求证：平面；（）求二面角的余弦值.方法二：由题知两两互相垂直，故以为原点，向量方向分别为，轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系.设正方形边长为2，则，.所以，.设为平面的一个法向量，由得，令，得，又由题知是平面的一个法向量，所以.所以，二面角的余弦值为. 18. 【辽宁省丹东市2018届高期末】长方形中， ， 是中点（图1）将沿折起，使得（图2）在图2中：（1）求证：平面 平面； （2）在线段上是否存点，使得二面角为大小为，说明理由 19. 【北京市通州区2018届期末】如图，在四棱柱中， 平面,底面为梯形， , ， ，点， 分别为， 的中点. （）求证： 平面； （）求二面角的余弦值； （）在线段上是否存在点，使与平面所成角的正弦值是，若存在，求的长；若不存在，请说明理由.（）存在. 设