2019版高考数学复习三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦与正切公式学案文.docx

3.5两角和与差的正弦、余弦与正切公式知识梳理1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C()：cos()coscossinsin.(2)S()：sin()sincoscossin.(3)T()：tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2：sin22sincos.(2)C2：cos2cos2sin22cos2112sin2.(3)T2：tan2.3公式的常用变形(1)tantantan()(1tantan)(2)cos2，sin2.(3)1sin2(sincos)2，sincossin.(4)asinbcossin()，其中cos，sin，tan(a0)特别提醒：(1)角：转化三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系，运用角的变换，化多角为单角或减少未知角的数目，连接条件角与待求角，使问题顺利获解对角变换时：可以通过诱导公式、两角和与差的三角公式等；注意倍角的相对性；注意拆角、拼角技巧，例如，2()()，()()，(2)()，()()，154530，等(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2x1sin22x.诊断自测1概念思辨(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在实数，使等式sin()sinsin成立()(3)在锐角ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小关系不确定()(4)公式tan()可以变形为tantantan()(1tantan)，且对任意角，都成立()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(必修A4P131T5)sin20cos10cos160sin10()A B. C D.答案D解析原式sin20cos10cos20sin10sin(2010)sin30.故选D.(2)(必修A4P146A组T3)已知tan，tan，则tan()_.答案1解析，tan()1.3小题热身(1)的值为()A2 B2 C2 D.答案B解析原式tan15tan(4530)2.故选B.(2)若sin()sincos()cos，且是第二象限角，则tan等于()A7 B7 C. D答案C解析sin()sincos()cos，cos.又是第二象限角，sin，则tan.tan.故选C.题型1求值问题 已知cos，若x，求的值本题采用“函数转化法”解由x，得x2.又cos，所以sin，所以cosxcoscoscossinsin，从而sinx，tanx7.则.方法技巧三角恒等变换的变“角”与变“名”问题的解题思路1角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化2名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦冲关针对训练(2018通辽模拟)已知锐角，满足sin，cos，则等于()A. B.或C. D2k(kZ)答案C解析由sin，cos，且，为锐角，可知cos，sin，故cos()coscossinsin，又00，sin0)，由sin2cos21，解得cossin ，即有sin，cos，则tsin2；(2)若t1，且ab1，即有4cossinsin21，即有4cossin1sin2cos2，由为锐角，可得cos(0,1)，即有tan，则tan2，tan.方法技巧三角恒等变换与向量的综合问题是高考中经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算进行化简冲关针对训练(2017南通模拟)已知向量m，n，函数f(x)mn.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若f，求f的值解(1)f(x)sincos2sin，f(x)的最小正周期T4.(2)f2sin，sin，cos12sin2，f2sin2cos.1(2016全国卷)若cos，则sin2()A. B. C D答案D解析解法一：cos(cossin)cossin1sin2，sin2.故选D.解法二：sin2cos2cos211.故选D.2(2014全国卷)设，且tan，则()A3 B3C2 D2答案C解析解法一：由tan得，即sincoscossincos，所以sin()cos，又cossin，所以sin()sin，又因为，所以，0，因此，所以2.故选C.解法二：tantan.，即2.故选C.3(2014全国卷)函数f(x)sin(x2)2sincos(x)的最大值为_答案1解析f(x)sin(x)2sincos(x)sin(x)coscos(x)sin2sincos(x)sin(x)cossincos(x)sin(x)sinx，f(x)的最大值为1.4(2017全国卷)函数f(x)sin2xcosx的最大值是_答案1解析f(x)1cos2xcosx21.x，cosx0,1，当cosx时，f(x)取得最大值，最大值为1. 重点保分 两级优选练A级一、选择题1计算sin43cos13sin47cos103的结果等于()A. B. C. D.答案A解析原式sin43cos13cos43sin13sin(4313)sin30.故选A.2.()A B C. D.答案C解析sin47sin(3017)sin30cos17cos30sin17，原式sin30.故选C.3(2017云南一检)已知过点(0,1)的直线l：xtany3tan0的斜率为2，则tan()()A B. C. D1答案D解析由题意知tan2，tan.tan()1.故选D.4coscoscos()A B C. D.答案A解析coscoscoscos20cos40cos100cos20cos40cos80.故选A.5(2017衡水中学二调)()A4 B2 C2 D4答案D解析4.故选D.6若0，0，cos，cos，则cos()A. B C. D答案C解析coscoscoscossinsin，由0，得，则sin.由0，得，则sin，代入上式，得cos.故选C.7(2018长春模拟)已知tan()1，tan()，则的值为()A. B C3 D3答案A解析.故选A.8(2017山西八校联考)若将函数f(x)sin(2x)cos(2x)(0)的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数g(x)cos(x)在上的最小值是()A B C. D.答案D解析f(x)sin(2x)cos(2x)2sin2x，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数解析式为y2sin2cos的图象该图象关于点对称，对称中心在函数图象上，2cos2cos0，解得k，kZ，即k，kZ.00，又(0，)，00，02，tan(2)1.tan0，20，2.13(2017江苏模拟)已知，为三角形的两个内角，cos，sin()，则_.答案解析因为0，cos，所以sin，故，又因为0，sin()，所以0或.由，知，所以cos()，所以coscos()cos()cossin()sin，又00，设x1x2，则0x1x2a得a0，0)的最大值为2，将yf(x)的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍后便得到函数yg(x)的图象，若函数yg(x)的最小正周期为.当x时，求函数f(x)的值域解(1)asinBacosBc，sinAsinBsinAcosBsinC.C(AB)，sinAsinBsinAcosBsin(AB)(sinAcosBcosAsinB)即sinAsinBcosAsinB.sinB0，tanA，0A，A.(2)由A，得f(x)cos233cos3，32，5.f(x)5cos23cos，从而g(x)cos，得，f(x)cos.当x时，3x，1cos，从而3f(x)，f(x)的值域为.18(2017江西南昌三校模拟)已知函数f(x)sin2sincos.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若x，且F(x)4f(x)cos的最小值是，求实数的值解(1)f(x)sin2sincoscos2xsin2x(sinxcosx)(sinxcosx)cos2xs