2018年高中数学数列2.3等差数列的前n项和学案新人教A版.docx

2.3预习课本P4245，思考并完成以下问题 (1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？(3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？1数列的前n项和对于数列an，一般地称a1a2an为数列an的前n项和，用Sn表示，即Sna1a2an.2等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式SnSnna1d1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项所有项的和()(2)anSnSn1(n2)化简后关于n与an的函数式即为数列an的通项公式()(3)在等差数列an中，当项数m为偶数2n时，则S偶S奇an1()解析：(1)正确由前n项和的定义可知正确(2)错误例如数列an中，Snn22.当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1.又a1S13，a1不满足anSnSn12n1，故命题错误(3)错误当项数m为偶数2n时，则S偶S奇nd.答案：(1)(2)(3)2等差数列an中，a11，d1，则Sn等于()AnBn(n1)Cn(n1) D.解析：选D因为a11，d1，所以Snn1，故选D.3设等差数列an的前n项和为Sn，若a1，S420，则S6等于()A16 B24C36 D48解析：选D设等差数列an的公差为d，由已知得4a1d20，即4d20，解得d3，S66334548.4在等差数列an中，S42，S86，则S12_.解析：由等差数列的性质，S4，S8S4，S12S8成等差数列，所以2(S8S4)S4(S12S8)，S123(S8S4)12.答案：12等差数列的前n项和的有关计算典例已知等差数列an(1)a1，a15，Sn5，求d和n；(2)a14，S8172，求a8和d.解(1)a15(151)d，d.又Snna1d5，解得n15或n4(舍)(2)由已知，得S8172，解得a839，又a84(81)d39，d5.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题解题时注意整体代换的思想(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq，常与求和公式Sn结合使用活学活用设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a811，则S9等于()A13 B35C49 D63解析：选Dan为等差数列，a1a9a2a8，S963.已知Sn求问题典例已知数列an的前n项和Sn2n2n2.(1)求an的通项公式；(2)判断an是否为等差数列？解(1)Sn2n2n2，当n2时，Sn12(n1)2(n1)22n25n1，anSnSn1(2n2n2)(2n25n1)4n3.又a1S11，不满足an4n3，数列an的通项公式是an(2)由(1)知，当n2时，an1an4(n1)3(4n3)4，但a2a15164，an不满足等差数列的定义，an不是等差数列(1)已知Sn求an，其方法是anSnSn1(n2)，这里常常因为忽略条件“n2”而出错(2)在书写an的通项公式时，务必验证n1是否满足an(n2)的情形如果不满足，则通项公式只能用an表示活学活用1已知数列an的前n项和为Snn2，则()Aan2n1 Ban2n1Can2n1 Dan2n1解析：选B当n1时，a1S11；n2时，anSnSn1n2(n1)22n1，此时满足a11.综上可知an2n1.2已知Sn是数列an的前n项和，根据条件求an.(1)Sn2n23n2；(2)Sn3n1.解：(1)当n1时，a1S17，当n2时，anSnSn1(2n23n2)2(n1)23(n1)24n1，又a17不适合上式，所以an(2)当n1时，a1S12，当n2时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1，显然a1适合上式，所以an23n1(nN*).等差数列的前n项和性质典例(1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为()A130 B170C210 D260(2)等差数列an共有2n1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于_(3)已知an，bn均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则_.解析(1)利用等差数列的性质：Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列所以Sn(S3nS2n)2(S2nSn)，即30(S3n100)2(10030)，解得S3n210.(2)因为等差数列共有2n1项，所以S奇S偶an1，即132120，解得n10.(3)由等差数列的性质，知.答案(1)C(2)10(3)等差数列的前n项和常用的性质(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2kSk，S3kS2k组成公差为k2d的等差数列(2)数列an是等差数列Snan2bn(a，b为常数)数列为等差数列(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，当项数为偶数2n时，S偶S奇nd，；当项数为奇数2n1时，S奇S偶an，.活学活用1设等差数列an的前n项和为Sn，若S48，S820，则a11a12a13a14()A18 B17C16 D15解析：选A设an的公差为d，则a5a6a7a8S8S412，(a5a6a7a8)S416d，解得d，a11a12a13a14S440d18.2等差数列an的通项公式是an2n1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为_解析：因为an2n1，所以a13，所以Snn22n，所以n2，所以是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为310175.答案：75等差数列的前n项和最值问题典例在等差数列an中，a125，S17S9，求前n项和Sn的最大值解由S17S9，得2517d259d，解得d2，法一公式法Sn25n(2)(n13)2169.由二次函数性质得，当n13时，Sn有最大值169.法二邻项变号法a1250，由得即12n13.又nN*，当n13时，Sn有最大值169.求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略(1)将Snna1dn2n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决(2)邻项变号法：当a10，d0时，满足的项数n使Sn取最大值当a10时，满足的项数n使Sn取最小值活学活用已知an为等差数列，若1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n()A11 B17C19 D21解析：选CSn有最大值，da11，又1，a110a10，a10a110，S2010(a1a20)10(a10a11)0，S19为最小正值故选C.层级一学业水平达标1已知数列an的通项公式为an23n，则an的前n项和Sn等于()An2Bn2C.n2 D.n2解析：选Aan23n，a1231，Snn2.2等差数列an的前n项和为Sn，若a70，a80，则下列结论正确的是()AS7S8 BS150 DS150解析：选C由等差数列的性质及求和公式得，S1313a70，S1515a8a5，则Sn取得最小值时n的值为()A5 B6C7 D8解析：选B由7a55a90，得.又a9a5，所以d0，a10.因为函数yx2x的图象的对称轴为x，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.5设Sn是等差数列an的前n项和，若，则等于()A1 B1C2 D.解析：选A1.6若等差数列an的前n项和为SnAn2Bn，则该数列的公差为_解析：数列an的前n项和为SnAn2Bn，所以当n2时，anSnSn1An2BnA(n1)2B(n1)2AnBA，当n1时满足，所以d2A.答案：2A7设等差数列an的前n项和为Sn，且Sm2，Sm10，Sm23，则m_.解析：因为Sn是等差数列an的前n项和，所以数列是等差数列，所以，即0，解得m4.答案：48设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是_，项数是_解析：设等差数列an的项数为2n1，S奇a1a3a2n1(n1)an1，S偶a2a4a6a2nnan1，所以，解得n3，所以项数2n17，S奇S偶an1，即a4443311为所求中间项答案：1179已知数列an的前n项和为Sn，且满足log2(Sn1)n1，求数列an的通项公式解：由已知条件，可得Sn12n1，则Sn2n11.当n1时，a1S13，当n2时，anSnSn1(2n11)(2n1)2n，又当n1时，321，故an10在等差数列an中，Sn为其前n项的和，已知a1a322，S545.(1)求an，Sn；(2)设数列Sn中最大项为Sk，求k.解：(1)由已知得即所以所以an2n15，Snn214n.(2)由an0可得n7，所以S7最大，k7.层级二应试能力达标1已知等差数列an的前n项和为Sn，S440，Sn210，Sn4130，则n()A12B14C16 D18解析：选B因为SnSn4anan1an2an380，S4a1a2a3a440，所以4(a1an)120，a1an30，由Sn210，得n14.2在等差数列an中，Sn是其前n项和，且S2 011S2 014，SkS2 009，则正整数k为()A2 014 B2 015C2 016 D2 017解析：选C因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 011S2 014，SkS2 009，可得，解得k2 016.故选C.3已知Sn为等差数列an的前n项和，S10，67a1167(a110d)67a1670d0，即a110.故选A.4已知等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是()A2 B3C4 D5解析：选D7，当n取1,2,3,5,11时，符合条件，符合条件的n的个数是5.5若数列an是等差数列，首项a10，a203a2040，则使前n项和Sn0a1a4060S4060，又由a10且a203a2040，知a2030，所以公差d0，则数列an的前203项都是负数，那么2a203a1a4050，所以S4050，所以使前n项和Sn0，前n项和为Sn，且a2a345