2019版高考数学大复习解析几何第44讲直线与圆圆与圆的位置关系优选学案.docx

第44讲直线与圆、圆与圆的位置关系考纲要求考情分析命题趋势1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题3初步了解用代数方法处理几何问题的思想.2017全国卷，202016全国卷，152016全国卷，62016天津卷，15圆的方程、直线与圆的位置关系在高考中几乎是年年考，一般单独命题但有时也与圆锥曲线等知识综合，重点考查函数与方程、数形结合及转化与化归思想的应用.分值：5分1直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：！_相交_#、！_相切_#、！_相离_#.(2)两种研究方法(3)圆的切线方程的常用结论过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2；过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2；过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.2圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(4)从两圆的方程中消掉二次项后所得的方程为公共弦所在直线方程()(5)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.()解析(1)正确直线与圆组成的方程组有一组解时，直线与圆相切，有两组解时，直线与圆相交(2)错误因为除外切外，还可能内切(3)错误因为除小于两半径和还需大于两半径差的绝对值，否则可能内切或内含(4)错误只有当两圆相交时，方程才是公共弦所在的直线方程(5)正确由已知可得O，P，A，B四点共圆，其方程为2222，即x2y2x0xy0y0，又圆O方程为x2y2r2，得x0xy0yr2，而两圆相交于A，B两点，故直线AB的方程是x0xy0yr2.2圆(x1)2(y2)26与直线2xy50的位置关系是(B)A相切B相交但直线不过圆心C相交且直线过圆心D相离解析由题意知圆心(1，2)到直线2xy50的距离d，且21(2)50，因此该直线与圆相交但不过圆心3圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是 (B)A相离B相交C外切D内切解析圆O1的圆心为(1,0)，半径r11，圆O2的圆心为(0,2)，半径r22，故两圆的圆心距|O1O2|，而r2r11，r1r23，则有r2r1|O1O2|r1r2，故两圆相交4圆x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为(D)Axy20Bxy40Cxy40Dxy20解析圆的方程为(x2)2y24，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为yk(x1)，即kxyk0，2，解得k.切线方程为y(x1)，即xy20.5直线x2y50与圆x2y2 8相交于A，B两点，则！2#.解析如图，取AB中点C，连接OC，OA，则OCAB，|OA|2，|OC|，|AC|，|AB|2|AC|2.一直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系时，通常利用圆心到直线的距离，注意求距离时直线方程必须化成一般式【例1】 (1)直线l：mxy1m0与圆C：x2(y1)25的位置关系是(A)A相交B相切C相离D不确定(2)若直线yxb与曲线x恰有一个公共点，则b满足的条件是 (D)Ab(1,1BbCbDb(1,1或b解析(1)由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d1，故直线l与圆相交(2)由x知，曲线表示半圆(如图所示)，让直线yxb在图形中运动，可知当14，点M在圆C外部当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x3，即x30.又点C(1,2)到直线x30的距离d312r，即此时满足题意，所以直线x3是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，则圆心C到切线的距离dr2，解得k.切线方程为y1(x3)，即3x4y50.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x30或3x4y50.|MC|，过点M的圆C的切线长为1.四圆与圆的位置关系(1)处理两圆的位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到【例4】 已知圆C1：(xa)2(y2)24与圆C2：(xb)2(y2)21.(1)若圆C1与圆C2外切，求ab的最大值；(2)若圆C1与圆C2内切，求ab的最大值；(3)若圆C1与圆C2相交，求公共弦所在的直线方程；(4)若圆C1与圆C2有四条公切线，试判断直线xy10与圆(xa)2(yb)21的位置关系解析(1)由圆C1与圆C2相外切，可得213，即(ab)29，根据基本不等式可知ab2，当且仅当ab时等号成立，所以ab的最大值为.(2)由C1与C2内切得211，即(ab)21，又ab2，当且仅当ab时等号成立，所以ab的最大值为.(3)由题意得，把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程圆C1：x2y22ax4ya20，圆C2：x2y22bx4yb230，由，得(2a2b)x3b2a20，即(2a2b)x3b2a20为所求公共弦所在的直线方程(4)由两圆存在四条切线，可知两圆外离，故3.(ab)29，即ab3或ab1，直线xy10与圆(xa)2(yb)21相离1(2018陕西黄陵中学期中)经过点M(2,1)作圆x2y25的切线，则切线方程为(C)Axy50Bxy50C2xy50D2xy50解析点M(2,1)满足圆x2y25，所以点M(2,1)在圆上经过点M(2,1)作圆x2y25的切线，则M(2,1)为切点，切点和圆心连线的斜率为，则切线斜率为2，切线方程为y12(x2)，整理得2xy50.故选C2已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是(B)A相切B相交C相离D不确定解析圆O的圆心O(0,0)，半径r1.因为点M在圆O外，所以a2b21.又圆心O(0,0)到直线axby1的距离d0，结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距构成直角三角形，可知1a1.易错点缺乏转化思想致误错因分析：不能将问题等价转化为两圆的位置关系，而是根据题意设出直线方程，利用点到直线的距离公式建立等式，但因运算太复杂而无法求解【例1】 在平面直角坐标系xOy中，若与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m的取值范围为！_#.解析因为与点A(2,2)的距离为1的直线都是以点A(2,2)为圆心，半径为1的圆的切线，与点B(m,0)的距离为3的直线都是以点B(m,0)为圆心，半径为3的圆的切线，所以与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条，即圆A与圆B有两条公切线，也即两圆相交，所以24，解得22m2或2m22.答案(22，2)(2,22)【跟踪训练1】 已知点A(2,0)，B(2,0)，若圆x2y26x9r20(r0)上存在点P(不同于A，B)，使得PAPB，则实数r的取值范围是(A)A(1,5)B1,5C(1,3D1,3解析依题意得以AB为直径的圆和圆x2y26x9r20(r0)有交点，圆x2y26x9r20化为标准方程得(x3)2y2r2，两圆相切时不满足条件，故两圆相交，而以AB为直径的圆的方程为x2y24，两圆的圆心距为3，故|r2|3r2，解得1r5.故选A课时达标第44讲解密考纲直线与圆的位置关系、切线、弦长问题是高考的热点，常以选择题、填空题的形式出现，有时也在解答题中出现一、选择题1若圆x2y216和圆(xa)2y21相切，则a的值为(C)A3B5C3或5 D3或5解析两圆的圆心距d|a|，两个圆相切，|a|3或|a|5，a3或5.2圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为(B)A内切B相交C外切D相离解析两圆的圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为r2，R3，两圆的圆心距为，则RrRr，所以两圆相交故选B3(2018河北邢台二中月考)已知直线l：ykx2(kR)，圆M：(x1)2y26，圆N：x2(y1)29，则直线l(D)A必与圆M相切，不可能与圆N相交B必与圆M相交，不可能与圆N相切C必与圆M相切，不可能与圆N相切D必与圆M相交，不可能与圆N相离解析直线l：ykx2(kR)过定点(0,2)，代入圆M：(x1)2y26，得(01)22250)上，且与直线2xy10相切的面积最小的圆的方程为(A)A(x1)2(y2)25B(x2)2(y1)25C(x1)2(y2)225D(x2)2(y1)225解析设此圆的圆心坐标为(x00)，则圆的半径r，当且仅当2x0，即x01时，等号成立，圆的面积最小，此时圆心坐标为(1,2)，半径为，所以圆的方程为(x1)2(y2)25.故选A5若直线l：ykx1被圆C：x2y22x30截得的弦最短，则直线l的方程是(D)Ax0By1Cxy10Dxy10解析依题意，直线l：ykx1过定点P(0,1)圆C：x2y22x30化为标准方程为(x1)2y24，故圆心为C(1,0)，半径为r2.易知定点P(0,1)在圆内，由圆的性质可知当PCl时，直线l：ykx1被圆C：x2y22x30截得的弦最短因为kPC1，所以直线l的斜率k1，即直线l的方程是xy10.6圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为(A)A54B1C62D解析设点P的坐标为(x,0)，圆心C1(2,3)关于x轴的对称点为C1(2，3)，则|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5.而|PM|PC1|1，|PN|PC2|3，|PM|PN|PC1|PC2|454.二、填空题7若直线ykx与圆x2y24x30相切，则k的值是！_#.解析因为直线ykx与圆x2y24x30相切，所以圆心(2,0)到直线的距离dr1，解得k.8在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y24x0.若直线yk(x1)上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是！2，2#.解析圆C的方程为(x2)2y24.设两个切点分别为A，B，则PACB为正方形，故|PC|R2，圆心到直线yk(x1)的距离d|PC|2，即2，解得2k2.9已知圆C1：x2y22mx4ym250与圆C2：x2y22x2mym230，若圆C1与圆C2相切，则实数m！_2或5或1_#.解析圆C1：(xm)2(y2)29，圆C2：(x1)2(ym)24，则C1(m，2)，r13，C2(1，m)，r22.圆C1与圆C2相切包括两种情况：两圆外切与两圆内切(1)当圆C1与圆C2相外切时，有|C1C2|r1r2，即5，整理得m23m100，解得m5或m2；(2)当圆C1与圆C2相内切时，有|C1C2|r1r2，即1，整理得m23m20，解得m1或m2.综上所述，当m5或m1或m2时，圆C1与圆C2相切三、解答题10已知圆C：(x1)2(y2)210，分别求满足下列条件的圆的切线方程(1)与直线l1：xy40平行；(2)与直线l2：x2y40垂直；(3)过切点A(4，1)解析(1)设切线方程为xyb0(b4)，则，b12，切线方程为xy120.(2)设切线方程为2xym0，则，m5，切线方程为2xy50.(3)kAC，过切点A(4，1)的切线斜率为3，过切点A(4，1)的切线方程为y13(x4)，即3xy110.11已知一圆C的圆心为(2，1)，且该圆被直线l：xy10截得的弦长为2，求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程解析设圆C的方程为(x2)2(y1)2r2(r0)圆心(2，1)到直线xy10的距离d，r2d224，故圆C的方程为(x2)2(y1)24.由得弦的两端点坐标为(2,1)和(0，1)所以过弦的两端点的圆的切线方程为y1和x0.12已知圆C：x2y22x4y30.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，