函数的极值课件(北师大选修(5).ppt

1.2 函数的极值,1.理解函数极值的概念 2.掌握利用导数求函数极值的方法 3.体会数形结合思想的应用.,1.求解函数的极大值点、极小值点、极大值与极小值(重点) 2.常用函数的单调性、图像等综合考查(难点) 3.常以选择或解答题的方式进行有关极值的正向或逆向问题的考查(易混点),1在某个区间内f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的 条件，而不是 条件 2利用导数求函数单调性的步骤： (1)确定f(x)的定义域； (2)求出f(x)0的实根； (3)确定各区间上的f(x)的符号； (4)写出其单调区间,充分,必要,1函数的极大值与极小值 (1)如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是 的，在区间(x0，b)上是 的，则 是极大值点， 是极大值 (2)如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是 的，在区间(x0，b)上是 的，则 是极小值点， 是极小值,递减,f(x0),递增,递减,递增,x0,f(x0),x0,2极大值与极小值的表格表示 (1)极大值,(2)极小值,1函数f(x)x33x27的极大值是( ) A7 B7 C3 D3 解析： f(x)3x26x，由f(x)0得x0或x2，在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，f(0)7为函数的极大值 答案： B,2函数f(x)ax3bx在x1处有极值2，则a，b的值分别为( ) A1，3 B1,3 C1,3 D1，3 解析： f(x)3ax2b，f(1)3ab0，ab2， 解得a1，b3. 答案： A,3函数yx36x的极大值为_，极小值为_,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由表可知，函数f(x)在区间(，2)及(0，)上分别为增函数，在区间(2，1)与(1,0)上分别为减函数函数在x2时有极大值3；在x0时有极小值1.,因此当x1时，f(x)有极小值，并且f(1)3.,设函数f(x)ax3bx2cx在x1和x1处有极值，且f(1)1，求a、b、c，并求其极值 此题属于逆向思维，仍可根据求函数极值的步骤来求，但要注意极值点与导数之间的关系：极值点为f(x)0的根利用这一关系，来用待定系数法求a、b、c.,f(x)极大值f(x)|x11，f(x)极小值f(x)|x11.,2.已知函数f(x)x33ax22bx在点x1处的极小值为1，试确定a，b的值，并求f(x)的单调区间,设函数f(x)x36x5，xR. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围,3.(2009年陕西)已知函数f(x)x33ax1，a0. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围,(2)f(x)在x1处取得极值 f(1)3(1)23a0.a1. f(x)x33x1，f(x)3x23. 由f(x)0解得x11，x21， 由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3. 直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点， 又f(3)191， 结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(3,1),1极值点的意义 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值,2几点说明 (1)极值是一个局部概念由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 (2)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个,(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值如图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)f(x1),(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点,1导数与极值的关系 对于函数f(x)的导数f(x)，令f(x)0，得值x0. (1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值,2求可导函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求导数f(x)； (3)求方程f(x)0的全部实根； (4)检查f(x)在f(x)0的根左、右两侧值的符号，如果左正右负(或左负右正)，那么f(x)在这个根处取得极大值(或极小值),已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数a，b的值,【错因】 根据极值的定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，此题未验证x1两侧函数的单调性，故求错 【正解】 求解过程同上 当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20， 所以f(x)在R上为增