2019版高考数学复习不等式选讲第2讲不等式的证明学案.docx

第2讲不等式的证明板块一知识梳理自主学习 必备知识考点1比较法比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种考点2综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法综合法又叫由因导果法考点3分析法证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法考点4反证法证明命题时先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而得出原命题成立，我们把这种证明方法称为反证法考点5放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法考点6柯西不等式1二维形式的柯西不等式定理1若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立2柯西不等式的向量形式定理2设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，假设为“a，b，c全不为0”()(2)若1，则x2yxy.()(3)|ab|ab|2a|.()(4)若实数x、y适合不等式xy1，xy2，则x0，y0.()答案(1)(2)(3)(4)22018温州模拟若a，b，cR，ab，则下列不等式成立的是()A.b2C. Da|c|b|c|答案C解析应用排除法取a1，b1，排除A；取a0，b1，排除B；取c0，排除D.显然0，对不等式ab 的两边同时乘以，立得成立故选C.3课本改编不等式：x233x；a2b22(ab1)；2，其中恒成立的是()A B C D答案D解析由得x233x20，所以x233x；对于，因为a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，所以不等式成立；对于，因为当ab0时，20，即2.故选D.42018南通模拟若|ac|b|，则下列不等式中正确的是()AacbC|a|b|c| D|a|b|c|答案D解析|a|c|ac|b|，即|a|0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.板块二典例探究考向突破考向比较法证明不等式例12016全国卷已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.解(1)f(x)当x时，由f(x)2，得2x1，即1x；当x时，f(x)2，即x；当x时，由f(x)2，得2x2，解得x1，即x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明：由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|1ab|.触类旁通比较法证明的一般步骤一般步骤：作差变形判断结论为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负常用的变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项等方法【变式训练1】2018福建模拟已知函数f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)f(a)f(b)解(1)当x1时，原不等式可化为x12x2，解得x1；当1x时，原不等式可化为x12x2，解得x1，此时原不等式无解；当x时，原不等式可化为x11，综上，Mx|x1(2)证明：证法一：因为f(ab)|ab1|(abb)(1b)|abb|1b|b|a1|1b|.因为a，bM，所以|b|1，|a1|0，所以f(ab)|a1|1b|，即f(ab)f(a)f(b)证法二：因为f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|，所以要证f(ab)f(a)f(b)，只需证|ab1|ab|，即证|ab1|2|ab|2，即证a2b22ab1a22abb2，即证a2b2a2b210，即证(a21)(b21)0.因为a，bM，所以a21，b21，所以(a21)(b21)0成立，所以原不等式成立考向用综合法与分析法证明不等式例2(1)2018浙江金华模拟已知x，yR.若x，y满足|x3y|，|x2y|，求证：|x|；求证：x416y42x3y8xy3.证明利用绝对值不等式的性质得：|x|2(x3y)3(x2y)|2(x3y)|3(x2y)|be(其中e是自然对数的底数)，求证：baab.(提示：可考虑用分析法找思路)证明ba0，ab0，要证baab只要证aln bbln a只要证.(abe)取函数f(x)，f(x)令f(x)0，xe当xe时，f(x)be时，有f(b)f(a)，即，得证触类旁通综合法与分析法的逻辑关系用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提【变式训练2】(1)设a，b，c均为正数，且abc1，证明：abbcca；1.证明由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.证法一：因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.证法二：由柯西不等式得：(abc)(cab)2，abc1，1.(2)2015全国卷设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：若abcd，则；是|ab|cd，得()2()2.所以.()若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由得.()若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2，因此|ab|是|ab|0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2，当且仅当ab1时等号成立(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b，(1b)c，(1c)a.三式同向相乘，得(1a)a(1b)b(1c)c(*)又(1a)a2，同理(1b)b，(1c)c.所以(1a)a(1b)b(1c)c，与*式矛盾，即假设不成立，故结论正确考向柯西不等式的应用例4柯西不等式是大数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，柯西不等式是指：对任意实数ai，bi(i1,2，n)，有(a1b1a2b2anbn)2(aaa)(bbb)，当且仅当aikbi(i1,2，n)时，等号成立(1)证明：当n2时的柯西不等式；(2)设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，求的最小值解(1)证明：当n2时，柯西不等式的二维形式为：(aa)(bb)(a1b1a2b2)2，(aa)(bb)(a1b1a2b2)2abab2a1a2b1b2(a1b2a2b1)20，当且仅当a1b2a2b1时取得等号(2)由柯西不等式得(a2b2)(m2n2)(manb)2，所以5(m2n2)52即m2n25，所以的最小值为.触类旁通利用柯西不等式解题时，要注意配凑成相应的形式，既可从左向右用，也可从右向左用【变式训练4】2018皇姑区校级期末设xy0，则的最小值为()A9 B9 C10 D0答案B解析29.当且仅当xy即xy时取等号故选B.核心规律1.证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和反证法仍是证明不等式的基本方法要依据题设、题目的结构特点、内在联系，选择恰当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维方法，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点2.综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程3.不等式证明中的裂项形式：(1)，.(2).(3).(4).满分策略1.作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式，作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构2.如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法3.高考命题专家说：“放缩是一种能力”如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所在！板块三模拟演练提能增分 A级基础达标1已知a，b，c，d均为正数，S，则一定有()A0S1 B1S2C2S3 D3S1，S2，1S1，1，1，1与1矛盾，至少有一个不大于1.3设x0，y0，M，N，则M、N的大小关系为_答案MM.4已知a，bR，a2b24，则3a2b的取值范围是_答案2，2解析根据柯西不等式(acbd)2(a2b2)(c2d2)，可得(3a2b)2(a2b2)(3222)23a2b2.3a2b2，2B级能力达标5求证：(nN*)证明左边0)(1)证明：f(x)4；(2)若f(2)5，求a的取值范围解(1)证明：|xa|a4；当且仅当a2时取等号(2)f(2)|a2|.当a2时，|2a|5显然满足；当 0a2时，不等式变成a5，即a25a401a4，联立求解得12时，不等式变成a2a40，a，联立求解得2a.综上，a的取值范围为1a0)的解集为2,2，求实数m的值；(2)对任意xR，y0，求证：f(x)2y|2x3|.解(1)不等式f2m1|2x|2m1(m0)，mxm，由解集为2,2，可得m2，解得m.(2)证明：原不等式即为|2x1|2x3|2y.令g(x)|2x1|2x3|(2x1)(2x3)|4，当2x30，即x时，g(x)取得最大值4，又2y24，当且仅当2y，即y1时，取得最小值4.则|2x1|2x3|2y.故原不等式成立82018黄山期末(1)已知a，b(0，)，求证：x，yR，有；(2)若0a2,0b2,0c1，而(2a)b(2b)c (2c)a(2a)a(2b)b(2c)c2221，这与(2a)b(2b)c(2c)a1矛盾所以假设错误，即(2a)b，(2b)c，(2c)a不能同时大于1.92018天津期末已知xy0，m0.(1)试比较与的大小；(2)用分析法证明：(2)1.解(1)因为，xy0，