2019版高考数学复习函数导数及其应用第15讲导数与函数的极值精选教案理.docx

第15讲导数与函数的极值、最值考纲要求考情分析命题趋势了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)2017全国卷，112017北京卷，192016天津卷，202016山东卷，20利用导数求函数的极值、最值，热点问题、高频考点，题型有求函数的极值、最值和已知函数的极值、最值求参数值或取值范围，难度较大分值：58分1函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值_都小_，且f(a)0，而且在点xa附近的左侧_f(x)0_，则点xa叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值(2)函数的极大值若函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，且f(b)0，而且在点xb附近的左侧_f(x)0_，右侧_f(x)0，f(0)0，f(4)0，最小值为0，故选A4若函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a(D)A2B3C4D5解析f(x)3x22ax3，f(3)0，a5.5设函数f(x)xex，则(D)Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析求导得f(x)exxexex(x1)，令f(x)ex(x1)0，解得x1，易知x1是函数f(x)的极小值点一利用导数研究函数的极值利用导数研究函数极值问题的步骤【例1】 已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值解析函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，因而f(1)1，f(1)1，曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1(x0)可知，当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上所述，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值【例2】 (1)(2017全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为(A)A1B2e3C5e3D1(2)(2017浙江金华十校联考)已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是！#.解析(1)因为f(x)(x2ax1)ex1，所以f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1x2(a2)xa1ex1因为x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，所以2是x2(a2)xa10的根，所以a1，f(x)(x2x2)ex1(x2)(x1)ex1令f(x)0，解得x1，令f(x)0，解得2x1，所以f(x)在(，2)上单调递增，在(2,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当x1时，f(x)取得极小值，且f(x)的极小值为f(1)1，故选A(2)f(x)(ln xax)xln x12ax，令f(x)0，得2a.设(x)，则(x)，易知(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以(x)max(1)1，则(x)的大致图象如图所示，若函数f(x)有两个极值点，则直线y2a和y(x)的图象有两个交点，所以02a1，得0a0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值解析(1)由题意可知f(1)，f(1)0.由于f(x)2bx(x0)，所以解得(2)由(1)知f(x)ln x(x0)，令f(x)x0(x0)，得x1故函数f(x)在上是增函数，在1，e上是减函数，所以函数f(x)在上的最大值为f(1).【例4】 (2018湖北武昌实验中学月考)设f(x)axln x，是否存在实数a，当x(0，e(e是自然对数的底数)时，函数f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解析假设存在实数a，使f(x)axln x(x(0，e)有最小值3，f(x)a(0xe)a0时，f(x)0，所以f(x)在(0，e上单调递减，f(x)minf(e)ae13，a(，0；当e时，f(x)0在(0，e上恒成立，所以f(x)在(0，e上单调递减，f(x)minf(e)ae13，a；当0e时，令f(x)0，得0x，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)ming1ln a3，ae2，满足条件综上，存在实数ae2，使得x(0，e时，f(x)有最小值3.1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(D)A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析由图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值，故选D2函数f(x)x(xm)2在x1处取得极小值，则m_1_.解析f(x)(xm)22x(xm)(xm)(3xm)f(x)x(xm)2在x1处取得极小值，f(1)0，即(1m)(3m)0，解得m1或m3.当m1时，f(x)(x1)(3x1)，当x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)在x1处取得极小值，即m1符合题意当m3时，f(x)(x3)(3x3)3(x1)(x3)当x0；当1x3时，f(x)0，f(x)在x1处取得极大值，不符合题意，即m3.综上，m13已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极值解析(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axba)2x4.由已知，得即解得(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)ex(4x8)2x44(x2).令f(x)0，得x2或xln 2.令f(x)0，得或解得2x0，得或解得xln 2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表.x(，2)2(2，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由上表可知，函数f(x)的极大值为f(2)4(1e2)，极小值为f(ln 2)22ln 2(ln 2)2.4已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线为l：3xy10，若x时，yf(x)有极值(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解析(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.当x1时，切线l的斜率为3，可得2ab0 ，当x时，yf(x)有极值，则f0，可得4a3b40 ，由，解得a2，b4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)4，所以1abc4，得c5.(2)由(1)可得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，解得x12，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示.x3(3，2)21f(x)00f(x)8单调递增13单调递减单调递增4所以yf(x)在3,1上的最大值为13，最小值为.易错点分类不完全，混淆概念错因分析：对参数的分类讨论不完全【例1】 已知函数f(x)(4x24axa2)，其中a0.由f(x)0，得0x2.故函数f(x)的单调递增区间为和(2，)(2)f(x)，a0，由f(x)0，得x或x.当x时，f(x)单调递增，当x时，f(x)单调递减；当x时，f(x)单调递增易知f(x)(2xa)20，且f0.当1，即2a0时，f(x)在1,4上的最小值为f(1)，由f(1)44aa28，得a22，均不符合题意当14，即8a4，即a0，函数f(x)在(1，)单调递增，无极值点当a0时，a28a(1a)a(9a8)a当0时，0，设方程2ax2axa10的两根为x1，x2(x1x2)，因为x1x2，所以x1.由g(1)10，可得1x10，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增因此函数有两个极值点当a0，由g(1)10，可得x10，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减；所以函数有一个极值点综上所述，当a时，函数f(x)有两个极值点课时达标第15讲解密考纲本考点主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值、或者已知最值求参数等问题高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合，作为中档题或压轴题出现三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大一、选择题1若函数f(x)x32cx2x有极值点，则实数c的取值范围为(D)ABCD解析若函数f(x)x32cx2x有极值点，则f(x)3x24cx10有根，故(4c)2120，从而c或c0，令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x0，在(1,0上，f(x)0，则当x2,0时函数有最大值，为f(1)2.当a0时，若x0，显然eax1，此时函数在2,2上的最大值为2，符合题意；当a0时，若函数在2,2上的最大值为2，则e2a2，得aln 2，综上可知a的取值范围是，故选D5已知函数f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值为(A)A37B29C5D11解析f(x)6x212x6x(x2)，由f(x)0得x0或x2.f(0)m，f(2)8m，f(2)40m，显然f(0)f(2)f(2)，m3，最小值为f(2)37，故选A6(2018河北三市联考二)若函数f(x)x3x22bx在区间3,1上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为(A)A2bBbC0Db2b3解析f(x)x2(2b)x2b(xb)(x2)函数f(x)在区间3,1上不是单调函数，3b0，得x2.由f(x)0，得bx2，函数f(x)的极小值为f(2)2b，故选A二、填空题7已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm_32_.解析f(x)3x212，令f(x)0，则x2和x2为其两个极值点，f(3)1，f(3)17，f(2)8，f(2)24，M24，m8，Mm32.8(2018东北八校月考)已知函数yf(x)x33ax23bxc在x2处有极值，其图象在x1处的切线平行于直线6x2y50，则f(x)的极大值与极小值之差为_4_.解析f(x)3x26ax3b，f(x)3x26x，令3x26x0，得x0或x2，f(x)极大值f(x)极小值f(0)f(2)4.9已知函数f(x)的定义域是1,5，部分对应值如下表.x10245f(x)12021f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的极小值为_0_.解析由yf(x)的图象知，f(x)与f(x)随x的变化情况如下表.x(1,0)0(0,2)2(2,4)4(4,5)f(x)000f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以f(x)的极小值为f(2)0.三、解答题10(2017北京卷)已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解析(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0.又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1(2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减所以对任意x有h(x)h(0)0，即f(x)0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得exa，即xln a.x(，ln a)时，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故f(x)在xln a处取得极小值f(ln a)ln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值1