2019版高考数学复习不等式推理与证明第36讲合情推理与演绎推理学案.docx

第36讲合情推理与演绎推理考纲要求考情分析命题趋势1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理了解合情推理在数学发现中的作用2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.2017全国卷，122016北京卷，82015江苏卷，112015福建卷，15合情推理一般以新定义、新规则的形式考查集合、函数、不等式、数列等问题；而演绎推理常结合函数、方程、不等式、解析几何、立体几何、数列等问题中的证明来考查.分值：5分1合情推理(1)归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的_全部对象_都具有这些特征的推理，或者由个别的事实概括出一般结论的推理特点：是由_部分_到_整体_、由_个别_到_一般_的推理(2)类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有_这些特征_的推理特点：是由_特殊_到_特殊_的推理2演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由_一般_到_特殊_的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式大前提已知的_一般原理_.小前提所研究的_特殊情况_.结论根据一般原理，对_特殊情况_做出的判断1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理()(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(3)“所有3的倍数都是9的倍数，若数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()解析 (1)错误归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理(2)错误平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适(3)正确因为大前提错误，所以结论错误(4)错误演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确2命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(C)A使用了归纳推理B使用了类比推理C使用了“三段论”，但推理形式错误D使用了“三段论”，但小前提错误解析 由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的3数列2,5,11,20，x,47，中的x(B)A28B32C33D27解析 由523,1156,20119.则x2012，因此x32.4给出下列三个类比结论：(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2.其中结论正确的个数是(B)A0B1C2D3解析 只有正确5观察下列不等式：1，1，1，按此规律，第五个不等式为_1_.解析 观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1(nN*，n2)，所以第五个不等式为1.一类比推理(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想其中找到合适的类比对象是解题的关键(2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比、低维与高维的类比、等差与等比数列类比、运算类比(加与乘、乘与乘方、减与除、除与开方)、数的运算与向量运算类比、圆锥曲线间的类比等【例1】 (1)若数列是等差数列，则数列也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列是等比数列，且也是等比数列，则dn的表达式应为(D)AdnBdnCdnDdn(2)在平面几何中：ABC的C内角平分线CE分AB所成线段的比为.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图)，平面DEC平分二面角ACDB，且与AB相交于E，则得到类比的结论是_.解析 (1)若an是等差数列，则a1a2anna1d，bna1dna1，即bn为等差数列；若cn是等比数列，则c1c2cncq12(n1)cq，dnc1q，即dn为等比数列，故选D(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得.二归纳推理归纳推理中几种问题的处理技巧(1)与等式或不等式“共舞”问题观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点，注意是纵向看，发现隐含的规律(2)与数列“牵手”问题先求出几个特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所含的范围，从而由特殊的结论推广到一般结论(3)与图形变化“相融”问题合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性【例2】 观察下列等式：121；12223；1222326；1222324210；依此规律，第n个等式可为_12223242(1)n1n2(1)n1_.解析 第n个等式的左边第n项应是(1)n1n2，右边数的绝对值为123n，故有12223242(1)n1n2(1)n1.【例3】 观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有_28_个小正方形解析 第15个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形，它们分别为12,123,1234,12345,123456，因此an123(n1)故a6123728，即第6个图中有28个小正方形【例4】 (2016山东卷)观察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此规律，2222_n(n1)_.解析 通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为n(n1)，即n(n1)三演绎推理演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提，若前提是显然的，则可以省略【例5】 数列的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN*)，证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.证明 (1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn，2，又10，(小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(2)由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)1(2018安徽淮南模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为(B)A2 011B2 012C2 013D2 014解析 根据题图所示的规则排列，设最上层的一个数为aN*，则第二层的三个数为a7，a8，a9，第三层的五个数a14，a15，a16，a17，a18，这9个数之和为a3a245a809a104.由9a1042 012，得a212，是自然数，故选B2(2018江西临川一中模拟)已知12123,1222235,122232347,12223242459，则1222n2_n(n1)(2n1)(nN*)_(其中nN*)解析 根据题意可归纳出1222n2n(n1)(2n1)，下面给出证明：(k1)3k33k23k1，则2313312311,3323322321，(n1)3n33n23n1，累加得(n1)3133(1222n2)3(12n)n，整理得1222n2n(n1)(2n1)，故填n(n1)(2n1)3用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为_6n2_.解析 由题意知，图的火柴棒比的多6根，图的火柴棒比图的多6根，而图的火柴棒的根数为26，第n条小鱼需要(26n)根4(2018北京海淀模拟)若f(ab)f(a)f(b)(a，bN*)，且f(1)2，则_2_018_.解析 利用三段论因为f(ab)f(a)f(b)(a，bN*)，(大前提)令b1，则f(1)2，(小前提)所以2.(结论)所以原式2 018.易错点类比不当错因分析：从平面类比到空间时，缺乏对对应特点的分析，无法得到正确结论【例1】 在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求证：，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由解析 如图(1)所示，由射影定理知AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，.又BC2AB2AC2，.四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE平面BCD于E，则.证明如下：如图(2)，连接BE交CD于F，连接AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD而AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.【跟踪训练1】 在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若b91，则有等式_b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)_成立解析 在等差数列an中，由a100，得：a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，S19a1a2ana190(n19)，即a1a2ana19a18an1，又a1a19，a2a18，a19nan1，a1a2ana19a18an1a1a2a19n.若a90，同理a1a2ana1a2a17n(n17)在等比数列bn中，b1b2bnb1b2b17n(n0)及x轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即a2x2dx(a1)2.运用类比推理，若对nN*，A恒成立，则实数A_ln 2_.解析 令A1，A2，An，依据类比推理可得A1dxln(n1)ln n，A2dxln(n2)ln(n1)，Andxln(2n)ln(2n1)，所以AA1A2Anln(n1)ln nln(n2)ln(n1)ln(2n)ln(2n1)ln(2n)ln nln 2.8观察下列等式：112349345672545678910 49照此规律，第n个等式为_n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2_.解析 观察这些等式，第一个等式左边是1个数，从1开始；第二个等式左边是3个数相加，从2开始；第三个等式左边是5个数相加，从3开始；第n个等式左边是2n1个数相加，从n开始等式的右边为左边2n1个数的中间数的平方，故第n个等式为n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.9设等差数列an的前n项和为 Sn，则 S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论我们可以得到一个真命题为：设等比数列bn的前n项积为Tn，则_T4，_成等比数列解析 利用类比推理把等差数列中的差换成商即可三、解答题10设f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明解析 f(0)f(1)，同理可得f(1)f(2)，f(2)f(3).由此猜想f(x)f(1x).证明：f(x)f(1x).11定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列an是等和数列，且a12，公和为5.求：(1)a18的值；(2)该数列的前n项和Sn.解析 (1)由等和数列的定义，数列an是等和数列，且a12，公和为5，易知a2n12，a2n3(n1,2，)，故a183.(2)当n为偶数时，Sna1a2an(a1a3an1)(a2a4an)当n为奇数时，SnSn1an(n1)2n.综上所述，Sn12对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导数，f(x)是f(x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”某同学