2019版高考数学复习算法复数推理与证明课时达标检测五十一数学归纳法.docx

课时达标检测(五十一）数学归纳法一、全员必做题1(2018南通期初)已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明解：(1)当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)1，g(2)，所以f(2)g(2)；当n3时，f(3)1，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明当n1时，不等式显然成立假设当nk(kN*)时不等式成立即1，那么，当nk1时，f(k1)f(k)，因为0，所以f(k1)g(k1)由可知，对一切nN*，都有f(n)g(n)成立2(2018苏北四市模拟)已知数列an满足an3n2，f(n)，g(n)f(n2)f(n1)，nN*.求证：(1)g(2)；(2)当n3时，g(n).证明：(1)由题意知，an3n2，g(n)，当n2时，g(2).(2)用数学归纳法加以证明：当n3时，g(3)，所以当n3时，结论成立假设当nk时，结论成立，即g(k)，则nk1时，g(k1)g(k)，由k3可知，3k27k30，即g(k1).所以当nk1时，结论也成立综合可得，当n3时，g(n).3等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*)，证明：对任意的nN*，不等式成立解：(1)由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r.所以anSnSn1bn1(b1)由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列又a1br，a2b(b1)，所以b，即b，解得r1.(2)证明：由(1)知an2n1，因此bn2n(nN*)，所证不等式为.当n1时，左式，右式，左式右式，所以结论成立假设nk(k1，kN*)时结论成立，即，则当nk1时，要证当nk1时结论成立，只需证，即证，由基本不等式得成立，故成立，所以，当nk1时，结论成立由可知，nN*时，不等式成立二、重点选做题1(2018盐城模拟)记f(n)(3n2)(CCCC)(n2，nZ)(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；(2)当n2，nN*时，试猜想所有f(n)的最大公约数，并证明解：(1)因为f(n)(3n2)(CCCC)(3n2)C，所以f(2)8，f(3)44，f(4)140.(2)由(1)中结论可猜想所有f(n)的最大公约数为4.下面用数学归纳法证明所有的f(n)都能被4整除即可当n2时，f(2)8能被4整除，结论成立；假设nk时，结论成立，即f(k)(3k2)C能被4整除， 则当nk1时，f(k1)(3k5)C(3k2)C3C(3k2)(CC)(k2)C(3k2)C(3k2)C(k2)C(3k2)C4(k1)Cf(k)4(k1)C，此式也能被4整除，即nk1时结论也成立综上所述，所有f(n)的最大公约数为4.2已知集合X1,2,3，Yn1,2,3，n(nN*)，设Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数(1)写出f(6)的值；(2)当n6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明解：(1)Y61,2,3,4,5,6，S6中的元素(a，b)满足：若a1，则b1,2,3,4,5,6；若a2，则b1,2,4,6；若a3，则b1,3,6.所以f(6)13.(2)当n6时，f(n)(tN*)下面用数学归纳法证明：当n6时，f(6)6213，结论成立假设nk(k6)时结论成立，那么nk1时，Sk1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中产生，分以下情形讨论：a若k16t，则k6(t1)5，此时有f(k1)f(k)3k23(k1)2，结论成立；b若k16t1，则k6t，此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2，结论成立；c若k16t2，则k6t1，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；d若k16t3，则k6t2，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；e若k16t4，则k6t3，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；f若k16t5，则k6t4，此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2，结论成立综上所述，结论对满足n6的自然数n均成立三、冲刺满分题1(2018扬州模拟)已知函数f(x)2x3x2，设数列an满足：a1，an1f(an)求证：(1)对任意的nN*，都有0an；(2)4n14.证明：(1)当n1时，a1，有0a1，n1时，不等式成立假设当nk(kN*)时，不等式成立，即0ak.则当nk1时，ak1f(ak)2ak3a32，于是ak132.因为0ak，所以032，即0ak1，可得0ak1.所以当nk1时，不等式也成立由可知，对任意的正整数n，都有0an.(2)由(1)可得an132，两边同时取以3为底的对数，可得log312log3，化简为1log32.所以数列是以log3为首项，2为公比的等比数列，所以1log32n1log3，化简求得：an2n1，所以342n1，因为当n2时，2n1CCCC1n1n，又当n1时，2n11，所以对任意的nN*,2n1n，所以342n134n，则342042142n1341424n4n14，所以4n14.2(2018无锡期初)已知数列an满足a1a2a3k，an1(n3，nN*)，其中k0，数列bn满足bn(n1,2,3,4，)(1)求b1，b2，b3，b4；(2)求数列bn的通项公式；(3)是否存在正数k，使得数列an的每一项均为整数，如果不存在，说明理由；如果存在，求出所有的k.解：(1)经过计算可知：a4k1，a5k2，a6k4.求得b1b32，b2b4.(2)由条件可知：an1an2kanan1.类似地有：an2an1kan1an.整理得，即bnbn2.所以b2n1b2n3b12，b2nb2n2b2，所以bn(nN*，k0)(3)假设存在正数k，使得数列an的每一项均为整数，则由(2)可知：由a1kZ，a6k4Z可知k1,2.当k1时，3为整数，利用a1，a2，a3Z，结合式，反复递推，可知an的每一项