2019届高考数学复习计数原理10.3二项式定理学案.docx

10.3二项式定理最新考纲考情考向分析会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.1二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1b1CankbkCbn(nN*)二项展开式的通项公式Tk1Cankbk，它表示第k1项二项式系数二项展开式中各项的系数C(k0,1,2，n)2.二项式系数的性质(1)C1，C1.CCC.(2)CC.(3)当n是偶数时，项的二项式系数最大；当n是奇数时，与1项的二项式系数相等且最大(4)(ab)n展开式的二项式系数和：CCCC2n.知识拓展二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)Cankbk是二项展开式的第k项()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(4)(ab)n的展开式第k1项的系数为Cankbk.()(5)(x1)n的展开式二项式系数和为2n.()题组二教材改编2P31例2(1)(12x)5的展开式中，x2的系数等于()A80 B40C20 D10答案B解析Tk1C(2x)kC2kxk，当k2时，x2的系数为C2240.3P31例2(2)若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A10 B20C30 D120答案B解析二项式系数之和2n64，所以n6，Tk1Cx6kkCx62k，当62k0，即当k3时为常数项，T4C20.4P41B组T5若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为()A9 B8C7 D6答案B解析令x1，则a0a1a2a3a40，令x1，则a0a1a2a3a416，两式相加得a0a2a48.题组三易错自纠5(xy)n的二项展开式中，第m项的系数是()AC BCCC D(1)m1C答案D解析(xy)n二项展开式第m项的通项公式为TmC(y)m1xnm1，所以系数为C(1)m1.6已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kN*)是一个单调递增数列，则k的最大值是()A5 B6C7 D8答案B解析由二项式定理知，anC(n1,2,3，11)又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6C，则k的最大值为6.7(xy)4的展开式中，x3y3项的系数为_答案6解析二项展开式的通项是Tk1C(x)4k(y)k(1)kC，令423，解得k2，故展开式中x3y3的系数为(1)2C6.题型一二项展开式命题点1求二项展开式中的特定项或指定项的系数典例 (1)(2017全国)(1x)6的展开式中x2项的系数为()A15 B20 C30 D35答案C解析因为(1x)6的通项为Cxk，所以(1x)6的展开式中含x2的项为1Cx2和Cx4.因为CC2C230，所以(1x)6的展开式中x2项的系数为30.故选C.(2)(x2xy)5的展开式中，x5y2项的系数为()A10 B20C30 D60答案C解析方法一利用二项展开式的通项公式求解(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2项的系数为CC30.故选C.方法二利用组合知识求解(x2xy)5为5个x2xy之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC30.故选C.命题点2已知二项展开式某项的系数求参数典例 (1)(2018届海口调研)若(x2a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于()A. B. C1 D2答案D解析由题意得10的展开式的通项公式是Tk1Cx10kkCx102k，10的展开式中含x4(当k3时)，x6(当k2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得CaC12045a30，由此解得a2，故选D.(2)(2016山东)若5项的展开式中x5项的系数为80，则实数a_.答案2解析Tk1C(ax2)5kka5kC，10k5，解得k2，a3C80，解得a2.思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项公式即可跟踪训练 (1)(2017全国)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为()A80 B40 C40 D80答案C解析因为x3y3x(x2y3)，其系数为C2240，x3y3y(x3y2)，其系数为C2380.所以x3y3的系数为804040.故选C.(2)(xa)10的展开式中，x7项的系数为15，则a_.(用数字填写答案)答案解析设通项为Tk1Cx10kak，令10k7，k3，x7项的系数为Ca315，a3，a.题型二二项式系数的和与各项的系数和问题典例 (1)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.答案3解析设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5，令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)，即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1a3a58(a1)，所以8(a1)32，解得a3.(2)(2018汕头质检)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为_答案1或3解析令x0，则(2m)9a0a1a2a9，令x2，则m9a0a1a2a3a9，又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39，(2m)9m939，m(2m)3，m3或m1.(3)若n的展开式中含x的项为第6项，设(13x)na0a1xa2x2anxn，则a1a2an的值为_答案255解析n展开式的第k1项为Tk1C(x2)nkkC(1)kx2n3k，当k5时，2n3k1，n8.对(13x)8a0a1xa2x2a8x8，令x1，得a0a1a828256.又当x0时，a01，a1a2a8255.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(axb)n，(ax2bxc)m (a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.跟踪训练 (1)(2017岳阳模拟)若二项式n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为()A27C B27CC9C D9C答案B解析令x1，得2n512，所以n9，故9的展开式的通项为Tk1C(3x2)9kk(1)kC39kx183k，令183k0，得k6.所以常数项为T7(1)6C3327C.(2)(2017绵阳模拟)(13x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则|a0|a1|a2|a3|a4|a5|等于()A1 024 B243C32 D24答案A解析令x1，得a0a1a2a3a4a5|a0|a1|a2|a3|a4|a5|1(3)5451 024.题型三二项式定理的应用典例 (1)设aZ且0a13，若512 012a能被13整除，则a等于()A0 B1 C11 D12答案D解析512 012a(521)2 012aC522 012C522 011C52(1)2 011C(1)2 012a，C522 012C522 011C52(1)2 011能被13整除且512 012a能被13整除，C(1)2 012a1a也能被13整除，因此a的值为12.(2)(2017安徽江南名校联考)设复数x(i是虚数单位)，则CxCx2Cx3Cx2 017等于()Ai BiC1i D1i答案C解析x1i，CxCx2Cx3Cx2 017(1x)2 0171i2 0171i1.思维升华 (1)逆用二项式定理的关键根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解(2)利用二项式定理解决整除问题的思路观察除式与被除式间的关系；将被除式拆成二项式；结合二项式定理得出结论跟踪训练 (1)(2018泉州模拟)190C902C903C(1)k90kC9010C除以88的余数是()A1 B1C87 D87答案B解析190C902C903C(1)k90kC9010C(190)108910(881)108810C889C881，前10项均能被88整除，余数是1.(2)若(12x)2 018a0a1xa2x2a2 018x2 018，则_.答案1解析当x0时，左边1，右边a0，a01.当x时，左边0，右边a0，01，即1.二项展开式的系数与二项式系数典例 (1)若n展开式的各项系数绝对值之和为1 024，则展开式中含x项的系数为_(2)已知(xm)7a0a1xa2x2a7x7的展开式中x4项的系数是35，则a1a2a7_.错解展示：(1)n展开式中，令x1可得4n1 024，n5，n展开式的通项Tk1(3)kC，令1，得k1.故展开式中含x项的系数为C5.(2)a1a2a7CCC271.错误答案(1)5(2)271现场纠错解析(1)在n的展开式中，令x1，可得n展开式的各项系数绝对值之和为4n22n1 024210，n5.故5展开式的通项为Tk1(3)kC，令1，得k1，故展开式中含x项的系数为15.(2)(xm)7a0a1xa2x2a7x7，令x0，a0(m)7.又展开式中x4项的系数是35，C(m)335，m1，a0(m)71.在(xm)7a0a1xa2x2a7x7中，令x1，得01a1a2a7，即a1a2a3a71.答案(1)15(2)1纠错心得和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数，是系数和还是二项式系数的和1已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A29 B210 C211 D212答案A解析由题意，CC，解得n10，则奇数项的二项式系数和为2n129.故选A.2在x2(1x)6的展开式中，含x4项的系数为()A30 B20 C15 D10答案C解析因为(1x)6的展开式的第k1项为Tk1Cxk，所以x2(1x)6的展开式中含x4的项为Cx415x4，所以系数为15.3(2017广州测试)使n(nN*)展开式中含有常数项的n的最小值是()A3 B4C5 D6答案C解析Tk1C(x2)nkkCx2n5k，令2n5k0，得nk，又nN*，所以n的最小值是5.4(2017邵阳模拟)(13x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为()A21 B35C45 D28答案B解析Tk1C(3x)k3kCxk，由已知得35C36C，即C3C，n7，因此，x4的二项式系数为C35，故选B.5(4x2x)6(xR)展开式中的常数项是()A20 B15C15 D20答案C解析设展开式中的常数项是第k1项，则Tk1C(4x)6k(2x)kC(1)k212x2kx2kxC(1)k212x3kx，12x3kx0恒成立，k4，T5C(1)415.6若在(x1)4(ax1)的展开式中，x4项的系数为15，则a的值为()A4 B. C4 D.答案C解析(x1)4(ax1)(x44x36x24x1)(ax1)，x4项的系数为4a115，a4.7(2018漯河质检)若(1x)(1x)2(1x)na0a1(1x)a2(1x)2an(1x)n，则a0a1a2a3(1)nan等于()A.(3n1) B.(3n2)C.(3n2) D.(3n1)答案D解析在展开式中，令x2，得332333na0a1a2a3(1)nan，即a0a1a2a3(1)nan(3n1)8.6展开式中不含x的项的系数为_(用数字作答)答案20解析6展开式中不含x的项为C(xy)3320y3，故不含x的项的系数为20.9若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.(用数字作答)答案10解析f(x)x5(1x1)5，它的通项为Tk1C(1x)5k(1)k，T3C(1x)3(1)210(1x)3，a310.10(2017广州五校联考)若6的展开式中x3项的系数为20，则log2alog2b_.答案0解析6的展开式的通项为Tk1Ca6kbkx123k，令123k3，则k3，6的展开式中x3项的系数为Ca3b320，ab1，log2alog2blog2(ab)log210.11(2017抚顺一中月考)在6(a0)的展开式中，常数项的系数是60，则sin xdx的值为_答案1cos 2解析由二项展开式的通项公式可知，Tk1C()6kkakCx ，令3k0，得k2，则T3a2C60，所以a2，所以sin xdxcos x|1cos 2.12(2018河南南阳模拟)若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则a2a4a12_.(用数字作答)答案364解析令x1，得a0a1a2a1236，令