2019届高考数学复习第十三章推理与证明算法复数第3讲数学归纳法及其应用练习理北师大版.docx

第3讲数学归纳法及其应用一、选择题1.用数学归纳法证明“2n2n1对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A.2 B.3 C.5 D.6解析n1时，212，2113，2n2n1不成立；n2时，224，2215，2n2n1不成立；n3时，238，2317，2n2n1成立.n的第一个取值n03.答案B2.某个命题与正整数有关，如果当nk(kN*)时该命题成立，那么可以推出nk1时该命题也成立.现已知n5时该命题成立，那么()A.n4时该命题成立B.n4时该命题不成立C.n5，nN*时该命题都成立D.可能n取某个大于5的整数时该命题不成立解析显然A，B错误，由数学归纳法原理知C正确，D错.答案C3.利用数学归纳法证明不等式“1(n2，nN)”的过程中，由“nk”变到“nk1”时，左边增加了()A.1项 B.k项 C.2k1项 D.2k项解析左边增加的项为共2k项，故选D.答案D4.对于不等式n1(nN)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立.(2)假设当nk(kN)时，不等式k1成立，当nk1时，(k1)1.当nk1时，不等式成立，则上述证法()A.过程全部正确B.n1验得不正确C.归纳假设不正确D.从nk到nk1的推理不正确解析在nk1时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法.答案D5.用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()A.k21B.(k1)2C.D.(k21)(k22)(k1)2解析当nk时，左端123k2.当nk1时，左端123k2(k21)(k22)(k1)2，故当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k1)2.故选D.答案D二、填空题6.设Sn1，则Sn1Sn_.解析Sn11，Sn1.Sn1Sn.答案7. (2017宝鸡月考)数列an中，已知a12，an1(nN)，依次计算出a2，a3，a4，猜想an_.解析a12，a2，a3，a4.由此，猜想an是以分子为2，分母是以首项为1，公差为6的等差数列.an.答案8.凸n多边形有f(n)条对角线.则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)与f(n)的递推关系式为_.解析f(n1)f(n)(n2)1f(n)n1.答案f(n1)f(n)n1三、解答题9.用数学归纳法证明：12(nN，n2).证明(1)当n2时，12，命题成立.(2)假设nk时命题成立，即12.当nk1时，12222，命题成立.由(1)(2)知原不等式在nN，n2时均成立.10.数列an满足Sn2nan(nN).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)证明(1)中的猜想.(1)解当n1时，a1S12a1，a11；当n2时，a1a2S222a2，a2；当n3时，a1a2a3S323a3，a3；当n4时，a1a2a3a4S424a4，a4.由此猜想an(nN).(2)证明当n1时，a11，结论成立.假设nk(k1且kN)时，结论成立，即ak，那么nk1时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak.ak1.所以当nk1时，结论成立.由知猜想an(nN)成立.11.(2017昆明诊断)设n为正整数，f(n)1，经计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，观察上述结果，可推测出一般结论()A.f(2n) B.f(n2)C.f(2n) D.以上都不对解析因为f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以当n1时，有f(2n).答案C12.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”.那么，下列命题总成立的是()A.若f(1)1成立，则f(10)100成立B.若f(2)4成立，则f(1)1成立C.若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立D.若f(4)16成立，则当k4时，均有f(k)k2成立解析选项A，B的答案与题设中不等号方向不同，故A，B错；选项C中，应该是k3时，均有f(k)k2成立；对于选项D，满足数学归纳法原理，该命题成立.答案D13.设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)_，f(n)_.(n1，nN)解析易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n1)f(n)2n(n1)，所以f(n)f(1)n(n1)，而f(1)2，从而f(n)n2n2.答案4n2n214.数列xn满足x10，xn1xxnc(nN).(1)证明：xn是递减数列的充要条件是c0；(2)若0c，证明数列xn是递增数列.证明(1)充分性：若c0，由于xn1xxncxncxn，数列xn是递减数列.必要性：若xn是递减数列，则x2x1，且x10.又x2xx1cc，c0.故xn是递减数列的充要条件是c0.(2)若0c，要证xn是递增数列.即xn1xnxc0，即证xn对任意n1成立.下面用数学归纳法证明：当0c时，xn对任意n1成立. 当n1时，x10