2019版高考数学复习第六单元解三角形高考达标检测二十正余弦定理的3个应用点__高度距离和角度理.docx

高考达标检测（二十） 正、余弦定理的3个应用点高度、距离和角度一、选择题1.(2018东北三校联考)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa kmB.a kmC2a km D.a km解析：选D依题意知ACB1802040120，在ABC中，由余弦定理知AB a(km)，即灯塔A与灯塔B的距离为a km.2.如图所示为起重机装置示意图，支杆BC10 m，吊杆AC15 m，吊索AB5 m，起吊的货物与岸的距离AD为()A30 mB. mC15 m D45 m解析：选B在ABC中，AC15 m，AB5 m，BC10 m，由余弦定理得cosACB.sinACB.又ACBACD180.sinACDsinACB.在RtADC中，ADACsinACD15(m)3(2018江西联考)某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60，小高层底部的俯角为45，那么这栋小高层的高度为()A20m B20(1)mC10()m D20()m解析：选B如图，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线由题意知AB20 m，DAE45，CAE60，故DE20 m，CEAEtan 6020 m所以CD20(1)m.4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A8 km/h B6 km/hC2 km/h D10 km/h解析：选B设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而cos ，所以由余弦定理得2212221，解得v6.5.(2018武昌调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为()A14 h B15 hC16 h D17 h解析：选B记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在OAB中，OA600，AB20t，OAB45，根据余弦定理得OB26002400t2220t600，令OB24502，即4t2120t1 5750，解得t，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为15(h)6一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m解析：选A设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.二、填空题7.(2018郑州调研)如图，在山底测得山顶仰角CAB45，沿倾斜角为30的斜坡走1 000 m至S点，又测得山顶仰角DSB75，则山高BC为_ m.解析：由题图知BAS453015，ABS451530，ASB135，在ABS中，由正弦定理可得，AB1 000，BC1 000.答案：1 0008.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为_；塔BB1的高为_ m.解析：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为，则AA160tan ，BB160tan 2.从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，A1ACCBB1，AA1BB1900，3 600tan tan 2900，tan (负值舍去)，tan 2，BB160tan 245.答案：459.如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点C可以观察到点A，B；找到一个点D，从点D可以观察到点A，C；找到一个点E，从点E可以观察到点B，C.并测量得到一些数据：CD2，CE2，D45，ACD105，ACB48.19，BCE75，E60，则A，B两点之间的距离为_.解析：依题意知，在ACD中，A30，由正弦定理得AC2.在BCE中，CBE45，由正弦定理得BC3.在ABC中，由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcos ACB10，所以AB.答案：三、解答题10.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM100 m和BN200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30，该测量车向北偏西60方向行驶了100 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为，且BQA，经测量tan 2，求两发射塔顶A，B之间的距离解：在RtAMP中，APM30，AM100，PM100.连接QM，在PQM中，QPM60，又PQ100，PQM为等边三角形，QM100.在RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ200.在RtBNQ中，tan 2，BN200，BQ100，cos .在BQA中，BA2BQ2AQ22BQAQcos (100)2，BA100.即两发射塔顶A，B之间的距离是100 m.11某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.解：如图所示，根据题意可知AC10，ACB120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB21t，BC9t，在ABC中，根据余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 120，所以212t210281t22109t，即360t290t1000，解得t或t(舍去)所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.此时AB14，BC6.在ABC中，根据正弦定理，得，所以sinCAB，即CAB21.8或CAB158.2(舍去)，即舰艇航行的方位角为4521.866.8.所以舰艇以66.8的方位角航行，需 h 才能靠近渔轮12某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100 m的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15方向上，且俯角为30的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75方向上，且俯角为45的D处(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80 km/h，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在RtABC中，BAC60，AB100 m，则BC100 m.在RtABD中，BAD45，AB100 m，则BD100 m.在BCD中，DBC751590，则DC200 m，所以客车的速度v20 m/s72 km/h，所以该客车没有超速(2)在RtBCD中，BCD30，又因为DBE15，所以CBE105，所以CEB45.在BCE中，由正弦定理可知，所以EB50 m，即此时客车距楼房50 m.1.如图所示，在平面四边形ABCD中，AD1，CD2，AC，若 cosBAD，sinCBA，则BC_.解析：由题意，在ADC中，AD1，CD2，AC，由余弦定理可得cosCAD，sinCAD，由cosBAD，可得sinBAD，sinCABsin(BADCAD)sinBADcosCADcosBADsinCAD，在ABC中，由正弦定理可得BC3.答案：32湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面的C点处，且BCAB31.一架无人机在空中的P点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得APB30，BPC90.(船只与无人机的大小及其它因素忽略不计)(1)求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；(2)若此时甲、乙两船相距100 m，求无人机到丙船的距离(精确到1 m)解：(1)画出示