2018高中数学第1章立体几何初步第二节点直线面的位置关系1平面的基本性质及推论学案苏教版.docx

平面的基本性质及推论一、考点突破知识点课标要求题型说明平面的基本性质及推论1. 借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面；2. 会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系；3. 能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用填空平面的基本性质及推论是立体几何的基础，确定平面，判定共线、共点的依据，尤其是注意三种语言的相互转化需认真练习二、重难点提示重点：平面的概念及其表示，平面的基本性质三大公理及其推论，注意它们的条件、结论、作用，图形、符号、文字语言的相互转化。难点：平面的基本性质三大公理及其推论，图形、符号、文字语言的相互转化。考点一：平面的概念及表示1. 平面的概念平面是从现实世界中抽象出来的几何概念，它没有厚薄，是无限延展的。2. 平面的表示（1）图形表示平面通常用平行四边形来表示。当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图。【要点诠释】也可以根据需要用其他平面图形表示平面，例如三角形、圆、矩形等。（2）字母表示平面通常用希腊字母、表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面、平面AC等。3. 平面的画法一般用平行四边形表示平面，当平面水平放置时，一边画成水平线，另一边与此边成，且横边画成邻边的两倍；当平面竖直放置时，一边画成竖直，另一边与此边成。如图画相交平面时的画法是先定位，后交线，邻边对边依次添，挡住部分成虚线。如下图考点二：点、线、面的位置关系位置关系（读法）符号表示点在直线上点不在直线上点在平面内平面点不在平面内平面直线与直线交于点直线在平面内平面直线不在平面内平面平面与平面相交于考点三：点、线、面的位置关系性质三种语言表述文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内A，BAB公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线P且Pl且Pl公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的使A，B，C推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面Al有且只有一个平面，使A，l推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面abP有且只有一个平面，使a，b推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面ab有且只有一个平面，使a，b【随堂练习】不共面的四点可以确定_个平面。思路分析：四点不共面任意三点不共线不共线三点确定一平面答案：设四点构成的集合为A，B，C，D，当A、B、C、D四点不共面时，经过该四点的平面是不存在的，但（A，B，C），（B，C，D），（C，D，A），（A，B，D）各可以确定一个平面，所以空间不共面的四点可以确定四个平面。技巧点拨：公理2是判断或确定平面的依据，对涉及这方面的应用，务必分清它们的条件，立足不共线的三点可以确定一个平面。例题1 （三种语言的转换）用符号语言表示下列语句，并画出图形。（1）三个平面、相交于一点P，且平面与平面交于PA，平面与平面交于PB，平面与平面交于PC；（2）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC。思路分析：解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“”，“”，“”，“”，“”的意义，在此基础上，实现三种语言的互译。答案：（1）符号语言表示：P，PA，PB，PC；用图形表示：（2）符号语言表示平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC，图形表示：技巧点拨：1. 用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示。2. 要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“”或“”，直线与平面的位置关系只能用“”或“”。3. 由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别。例题2 （点线共面问题）已知直线abc，直线d与a，b，c分别相交于A，B，C三点，求证a，b，c，d四线共面。思路分析：方法一：先证直线a与d确定一个平面，再证其他直线也在这个平面内；方法二：先证直线a，b，d在一个平面内，再证直线a，c，d在另一个平面内，然后证明这两个平面重合。答案：方法一设a与d确定一平面，则d，Bd，B，在内过B点作直线ba，而ba，bb，又b与b有一个公共点B，故b与b重合，b，同理c，a，b，c，d四线共面；方法二ab，直线a，b确定一平面，则a，b，adA，bdB，且A，B，d，平面是经过a与d的一个平面，又ac，a，c可确定一平面，同理可证d，也是过a与d的一个平面，adA，过a与d只有一个平面，即与重合，a，b，c，d四线共面。技巧点拨：证明点线共面的常用方法：（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；（2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合；（3）反证法。例题3 （点共线、线共点问题）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线。思路分析：欲证D、A、Q三点共线，只需说明三点均在平面AD1和平面AC的交线DA上即可。答案：MNEFQ，Q直线MN，Q直线EF，又M直线CD，N直线AB，CD平面ABCD，AB平面ABCD，M、N平面ABCD，MN平面ABCD.Q平面ABCD，同理，可得EF平面ADD1A1，Q平面ADD1A1又平面ABCD平面ADD1A1AD，Q直线AD，即D、A、Q三点共线。技巧点拨：点共线与线共点的证明方法：（1）点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上。（2）三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点。因混淆“平面”与“平面图形”两个概念致误【例析】下列说法正确的有_。（1）平面就是平行四边形；（2）任何一个平面图形都是一个平面；（3）平静的太平洋面就是一个平面；（4）圆和平面多边形都可以表示平面【错解】（1）（2）（3）（4）【错因分析】上述求解错误的原因有以下两处：（1）对“平面”的概念不理解；（2）混淆“平面”与“平面图形”两个概念。【防范措施】对“平面”这个概念要从以下三个方面理解：（1）