特征值特征向量的计算.ppt

定义 1 设A为n阶方阵，X是n维向量，如果 存在数l，使方程AX=lX有非零解，则称l为矩阵A的特征值，相应的非零解称为A的属于l的特征向量,方程AX=lX,AX-lX =O,(A-lE)X=O,特征值:使n元齐次方程AX=lX 有非零解的数l0,A的对应于l0的特征向量：,即不论l取何值，方程AX=lX一定有解,43 矩阵的特征值和特征向量,例如：对 ，取 l=4，代入方程AX= lX,(A-4E)X= O,有非零解,所以，l=4是矩阵A的一个特征值,对 ，取 ，得一个基础解系,则方程(A-4E)X=O的全部解为：,c为任意常数,A的属于l=4 的特征向量：,c0,1、求n阶方阵A的特征值：,数l0是A的特征值,l0使方程AX= lX有非零解,因此 ：l0是A的特征值,l0使 成立,求A的特征值步骤：,(1) 计算n阶行列式,解得方程的根l1，l2， ，ln，,则l1， l2， ，ln即是A的特征值,设,则方程 即 是的n次方程,在复数域上，方程 一定有 n个根。,方程,定义 2 设A为n阶方阵， 为其特征值组，则其特征方程可表示为：,则 称为 的代数重数(重数)，而 特征子空间的维数 称为几何重数(度数)。,显然：,解：,令 ， 得 l1 =-1，l2 =7,则A的特征值为l1 =-1，l2 =7,【例1】求 的特征值,2、求A的属于特征值l的特征向量,设li是A的特征值，则方程AX=li , X有非零解.,即方程(A-liE)X=O有非零解，,方程组(A-liE)X=O的全部非零解,A的对应于特征值li的特征向量:,2）求出(A-liE)X=O的一个基础解系 V1、V2、Vs,步骤：1）把 l= li代入方程(A-liE)X=O,得一齐次线性方程组(A-liE)X=O,3） A的属于特征值li 的特征向量为：,是不全为零任意常数,【例2】求矩阵 的特征值与特征向量,解：,得 l1 =2，l2 = l3= 1（二重根）,则A的特征值为l1 =2，l2 = l3= 1,把l1 =2代入方程(A- lE)X=O ，得,(A -2E)X=O,得一基础解系,于是，A的属于l1 =2的全部特征向量为：,把l2= l3= 1代入方程(A- lE)X=O ，得,(A-E)X=O,于是，A的属于2=1的全部特征向量为：,解：,得 1 =-2， 2 = 3= 7（二重根）,则A的特征值为 1 =-2， 2 = 3= 7,把l1 =-2代入方程(A-lE)X=O ，得,(A +2E)X=O,【例3】求矩阵 的特征值与特征向量,于是，A的属于l1=-2的全部特征向量为：,把l2 = l3= 7代入方程(A-lE)X=O ，得,令 分别取,，得基础解系,于是，A的属于l2=l3 = 7的全部特征向量为：,定理 1 n阶方阵A的不同特征值对应的特征向量线性 无关。,即 若 是属于特征值l1 的特征向量,是属于特征值l2的特征向量,证明：设l1、l2 、lm是A的m个不同的特征值， a1、a2、 am是分别属于l1、l2 、lm 的特征向量，,即 是方程 的非零解,要证： 线性无关,设：,即有 ，且,在(1)式两边左乘A，得,在(2)式两边左乘A，得,做矩阵乘积:,，即B可逆,不同特征值对应的特征向量线性无关,所以：,则：,定理 2 设l是A的特征值，a是A的属于l的特征向量，则: (1) kl是 kA的特征值(k为任意常数) (2) lm 是Am 的特征值(m为正整数) (3) 当A可逆时，l0，且l-1是A-1的特征值,因为 a是A的属于l的特征向量，,即a是方程AX=lX的非零解，,所以有 Aa=la 且a0,证（1）：kl是 kA的特征值,且a0,，所以a是方程kAX=klX的非零解,kl是 kA的特征值,因为(kA)a,要证方程(kA)X=(k)X 有非零解,=k(Aa),=k (la),=(kl)a,先证当A可逆时， l0：,反证：若不然，l=0,由Aa= la,，得Aa=0,证（3）当A可逆时，l0，且l-1是A-1的特征值,再证l-1是A-1的特征值：,因为 Aa=la，,两边左乘A-1 ，得,即a是方程A-1 X= l-1 X的非零解,故l-1是A-1的特征值,【例4】设四阶方阵A满足 求 的一个特征值。,解：,即A可逆,由,所以l=-3是A的一个特征值,且由,再由定理2的（1）可知：,定理 3 矩阵A与其转置 矩阵A有相同的特征值,证明：,即 A与A有相同的特征多项式,故A与A有相同的特征值,定理 4 设l1、l2 、l n是A的n个特征值，则,说明 （1）利用本定理结论(1)可检验所求 的特征值是否正确。,（2）由结论(2)可得性质：,（1） l1+l2 +ln=a11+ a22+ +ann,（2）l1l2 l n,定义 3 若T为可逆矩阵，对矩阵A、B，若：,则称A与B相似。,定理 5 若矩阵A、B相似，则A、B具有相同的本征