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文档简介
2.2.2 间接证明,第2章 2.2 直接证明与间接证明,学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,著名的“道旁苦李”的故事:王戎小时候,爱和小朋友在路上玩耍.一天,他们发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上,去摘李子,独有王戎没动,等到小朋友们摘了李子一尝,原来是苦的!他们都问王戎:“你怎么知道李子是苦的呢?”王戎说:“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这树上却结满了李子,所以李子一定是苦的.”,思考,王戎的论述运用了什么论证方法?,答案 实质运用反证法的思想.,答案,知识点 间接证明,梳理,(1)间接证明 定义:不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立,像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明. 常用方法:反证法. (2)反证法 基本过程:反证法证明时,要从 开始,经过 ,导致 ,从而达到 (即肯定原命题).,否定结论,正确推理,逻辑矛盾,新的否定,证题步骤:反设假设 不成立,即假定原结论的反面为真; 归谬从 和 出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果; 存真由 ,断定 不真,从而肯定原结论成立.,命题的结论,反设,已知条件,矛盾结果,反设,题型探究,例1 设an是公比为q的等比数列,q1,证明:数列an1不是等比数列.,证明,类型一 用反证法证明否定性命题,证明 假设an1是等比数列,则对任意的kN*, (ak11)2(ak1)(ak21),,a10,2qkqk1qk1. q0,q22q10, q1,这与已知矛盾. 假设不成立,故an1不是等比数列.,(1)用反证法证明否定性命题的适用类型: 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题,此类问题的正面比较模糊,而反面比较具体,适合使用反证法. (2)用反证法证明数学命题的步骤,反思与感悟,证明,a,b,c成等比数列, b2ac, ,ac,从而abc. 这与已知a,b,c不成等差数列相矛盾, 假设不成立.,类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题,证明,例2 a,b,c(0,2),求证:(2a)b,(2b)c,(2c)a不能都大于1.,证明 假设(2a)b,(2b)c,(2c)a都大于1. 因为a,b,c(0,2), 所以2a0,2b0,2c0.,即33,矛盾. 所以(2a)b,(2b)c,(2c)a不能都大于1.,证明,引申探究 已知a,b,c(0,1),求证:(1a)b,(1b)c,(1c)a不能都大于 .,证明 假设(1a)b,(1b)c,(1c)a都大于 .,a,b,c都是小于1的正数, 1a,1b,1c都是正数.,用反证法证题时,如果要证明的命题的反面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以;若结论的反面情况有多种,则必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断结论成立.,反思与感悟,证明,跟踪训练2 已知a,b,c是互不相等的实数,求证:由y1ax22bxc,y2bx22cxa和y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.,证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点, 由y1ax22bxc,y2bx22cxa,y3cx22axb, 得1(2b)24ac0,2(2c)24ab0, 且3(2a)24bc0. 同向不等式求和,得 4b24c24a24ac4ab4bc0, 所以2a22b22c22ab2bc2ac0, 所以(ab)2(bc)2(ac)20,所以abc. 这与题设a,b,c互不相等矛盾, 因此假设不成立,从而命题得证.,类型三 用反证法证明唯一性命题,证明,例3 求证:方程2x3有且只有一个根.,证明 2x3,xlog23. 这说明方程2x3有根. 下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的. 假设方程2x3至少有两个根b1,b2(b1b2), 则 3, 3,两式相除得 1, b1b20,则b1b2,这与b1b2矛盾. 假设不成立,从而原命题得证.,用反证法证明唯一性命题的一般思路:证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个命题,即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时,可先证“存在性”,由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾,因此可用反证法证其唯一性.,反思与感悟,跟踪训练3 若函数f(x)在区间a,b上是增函数,求证:方程f(x)0在区间a,b上至多有一个实根.,证明,证明 假设方程f(x)0在区间a,b上至少有两个实根, 设、为其中的两个实根.因为 ,不妨设, 又因为函数f(x)在a,b上是增函数, 所以f()f(). 这与假设f()0f()矛盾, 所以方程f(x)0在区间a,b上至多有一个实根.,当堂训练,1.“ab”的反面应是_.,答案,2,3,4,5,1,ab或ab,2,3,4,5,1,答案,2.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设_.,至少有两个钝角,2,3,4,5,1,答案,解析,都大于2;都不小于2;至少有一个不小于2;至少有一个不大于2.,解析 假设三个数都小于2,,2,3,4,5,1,答案,4.用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数a,b,c中无偶数”,正确的假设为_.,a,b,c中至少有一个偶数,解析,解析 a,b,c中无偶数,即a,b,c都是奇数,反设应是“a,b,c中至少有一个偶数”.,2,3,4,5,1,证明,方程2x3至少有一个实根. 设x1,x2是方程2x3的两个不同实根,,5.证明:方程2x3有且仅有一个实根.,由得,2(x1x2)0, x1x2, 这与x1x2矛盾. 方程2x3有且仅有一个实根成立.,规律与方法,1.反证法证明的3个步骤 (1) 反设假设命题的结论不成立,即假定原结论的反面为真; (2) 归谬从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果; (3) 存真由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立
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