频率域图像增强1.ppt

,医学图像处理 杨阳 QQ：328131340 TelE-mail：yang_,频率域图像增强,04,主要内容,主要内容,第一部分,背景知识,1、图像变换的数学基础 2、图像变换的目的 3、图像变换的要求,频率域滤波,基本变换,同态 滤波,1,图像变换的数学基础,两方面问题： 抽象 物理现象 数学模型 数学工具：解决实际问题,1,图像变换的数学基础,将空域中的信号（图像）变换到另外一个域（频域），即使用该域中的一组单位正交基函数（相同基函数内积为1，不同基函数的内积为0）的线性组合来表示任意函数。 使用这组基函数的线性组合得到任意函数f，每个基函数的系数就是f与该基函数的内积。 图像变换通常是一种二维正交变换。,2,图像变换的目的,变换是个工具，一个域特征不突出到另一个域则突出，信号处理中空域和频域之间的相互变换常用。例如： Fourier变换之后的平均值，正比于图像的平均亮度，而高频分量可指示图像中边沿幅度和方向； 用于图像的变换编码的压缩频带，如对幅度小的变换系数或者丢弃，或者粗量化。 缩减计算维数，把Hotelling变换小幅度系数丢弃不用。,2,图像变换的目的,使图像处理问题简化； 有利于图像特征提取； 有助于从概念上增强对图像信息的理解；,3,图像变换的要求,正交变换： 一个实函数或复函数若用 x(t)表示，其定义域为（t0,t0+T）在此区间可展开为： 如若 * 共轭函数 并且 则m称正交函数，当c=1时称标准正交函数。 图像处理中用到变换核均为正交函数。,3,图像变换的要求,一般要求： 1. 正交变换必须是可逆的； 2. 正变换和反变换的算法不能太复杂； 3. 正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像处理。,因此正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面,主要内容,第二部分,1、傅里叶变换及其反变换 2、傅里叶变换的性质 3、快速傅里叶变换（FFT）,基本变换,背景知识,其他基本变换,频率域滤波,从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数（正、余弦函数）来处理的。 从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域。,1,傅里叶变换及其反变换,1.1 一维傅里叶变换对,一维连续函数 的傅里叶变换对定义为：,1,傅里叶变换及其反变换,1.1 一维傅里叶变换对,一维离散函数 的傅里叶变换对DFT定义为：,1,傅里叶变换及其反变换,1.1 一维傅里叶变换对,一维傅里叶变换的极坐标表示： 幅度或频率谱为 相角或相位谱为 功率谱或谱密度为,1,傅里叶变换及其反变换,1.1 一维傅里叶变换对,一维傅里叶变换举例： 幅度谱： 幅度谱图：,1,傅里叶变换及其反变换,1.2 二维傅里叶变换对,二维连续函数 的傅里叶变换对定义为：,1,傅里叶变换及其反变换,1.2 二维傅里叶变换对,二维离散函数 的傅里叶变换对DFT定义为： 注：u和v是图像的频率变量，x和y是图像的空域变量,1,傅里叶变换及其反变换,1.2 二维傅里叶变换对,二维离散函数 的傅里叶变换对DFT定义为： 变换核： 可见逆变换的物理含义为： f(x,y) 可看作 的线性组合。,1,傅里叶变换及其反变换,1.2 二维傅里叶变换对,直流份量,二维离散函数 的傅里叶变换对DFT定义为： 说明：在原点的傅里叶变换和图像的平均灰度成正比,1,傅里叶变换及其反变换,1.2 二维傅里叶变换对,二维傅里叶变换的极坐标表示： 幅度或频率谱为 相角或相位谱为 功率谱或谱密度为,1,傅里叶变换及其反变换,1.2 二维傅里叶变换对,离散图像的傅里叶变换原理 变换结果的 左上、右上、 左下、右下 四个角部分 对应于低频成分， 中央部分 对应于高频成分。 图像的二维离散傅立叶变换的频率成分分布示意图,1,傅里叶变换及其反变换,1.2 二维傅里叶变换对,离散图像的傅里叶变换原理 对于一幅图像，图像中： 灰度变化比较缓慢的区域对应较低的频谱， 灰度变化比较大的边缘地带对应较高的频谱。 大部分都是灰度变化缓慢的区域， 只有一小部分是边缘。 因此其变换域的图像： 能量主要集中在低频部分（对应值较高）， 只有一小部分能量集中在高频部分（对应值较低）。,1,傅里叶变换及其反变换,1.2 二维傅里叶变换对,离散图像的傅里叶变换原理 （a）lenna图（b）傅氏变换的频谱图 图像及其频谱图像示意图,2,二维离散傅里叶变换的性质,2.1 可分离性,二维傅立叶变换式可以分离成如下形式： 正变换,2,二维离散傅里叶变换的性质,2.1 可分离性,二维傅立叶变换式可以分离成如下形式： 反变换,2,二维离散傅里叶变换的性质,2.1 可分离性,一个二维离散傅立叶变换可以先后两次运用一维傅立叶变换来实现。 先通过沿输入图像的每一行计算一维变换 再沿中间结果的每一列计算一维变换 可以改变上述顺序，即先列后行 上述相似的过程也可以计算二维傅里叶反变换,2,二维离散傅里叶变换的性质,2.1 可分离性,一个二维离散傅立叶变换可以先后两次运用一维傅立叶变换来实现。,2,二维离散傅里叶变换的性质,2.1 可分离性,2,二维离散傅里叶变换的性质,2.2 平移性,指将 乘以一个指数项，相当于把其二维离散傅立叶变换 的频域中心移动到新的位置。 将 乘以一个指数项，就相当于把其二维离散傅立叶反变换 的空域中心移动到新的位置。,2,二维离散傅里叶变换的性质,2.2 平移性,这个性质可以表示为： 傅立叶变换的幅值不变 ：,2,二维离散傅里叶变换的性质,2.2 平移性,将 的原点移到 方阵的中心，以使能清楚地分析傅立叶变换谱的情况。要做到这一点，只需令： 则 可得：,2,二维离散傅里叶变换的性质,2.2 平移性,先以一维为例： f（x）=1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ，N=16。求 F（u）,2,二维离散傅里叶变换的性质,2.2 平移性,先以一维为例： f(x) = f(x)(-1)x = 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 ，求 F(u) ,2,二维离散傅里叶变换的性质,2.2 平移性,2,二维离散傅里叶变换的性质,2.2 平移性,未移中的变换 移中的变换,2,二维离散傅里叶变换的性质,2.2 平移性,2,二维离散傅里叶变换的性质,2.3 旋转性,若引入极坐标使 则 和 分别表示为 和 。 在极坐标中，存在以下的变换对 上式表明，如果 在空域旋转角度 ，则相应的傅立叶变换 在频域上也旋转同一角度 。,2,二维离散傅里叶变换的性质,2.3 旋转性,2,二维离散傅里叶变换的性质,2.4 周期性,傅立叶变换和反变换均以N为周期，即： F（u,v）= F（u+M,v）= F（u,v+N）= F（u+M,v+N） f（x,y）= f（x+M,y）= f（x,y+N）= f（x+M,y+N）,2,二维离散傅里叶变换的性质,2.5 对称性,共轭对称性 如果f(x,y)是实函数，它的傅里叶变换是： 共轭对称（实部相等，虚部互为相反数）的，即 傅里叶变换的频率谱是关于原点偶对称的，即 复习：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。,2,二维离散傅里叶变换的性质,2.6 线性性,a)Image A; b)Image B; c)0.25*A + 0.75*