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文档简介

极大似然估计法,极大似然原理的直观想法是:一个随机试验如有若干个可能的结果A,B,C,.若在一次试验中,结果A出现, 则一般认为A出现的概率最大,也即试验条件对A出现有利.或者说在试验的很多可能条件中，认为应该是使事件A发生的概率为最大的那种条件存在.,极大似然估计的基本思想,例：假若一个盒子里有许多白球和红球,而且已知它们的数目之比是3:1,但不知是白球多还是红球多.设随机地在盒子中取一球为白球的概率是p.如果有放回地从盒子里取3个球,那么白球数目X服从二项分布,如果样本中白球数为0,则应估计p=1/4,而不估计p=3/4.因为具有X=0的样本来自p=1/4的总体的可能性比来自p=3/4的总体的可能性要大.一般当X=0,1时,应估计p=1/4;而当X=2,3时,应估计p=3/4.,极大似然估计法的思想： 设总体X的密度函数为f(x,)，为未知参数，则 样本（X1,X2,Xn）的联合密度函数为,令,参数的估计量 ，使得样本（X1,X2,Xn）落在观测 值 的邻域内的概率L()达到最大，即,则称 为参数的极大似然估计值。,令,求极大似然估计的一般步骤归纳如下：,例:设随机变量X服从泊松分布:,其中0是一未知参数,求的极大似然估计.,解 设(x1,x2,xn)是样本 (X1,X2,Xn)的一组观测值.于是似然函数,两边取对数得,从而得出的极大似然估计量为,解这一方程得,解,总体X服从参数为的指数分布，则有,所以似然函数为,取对数,令,解得的极大似然估计值为,极大似然估计量为,例:设(X1,X2,Xn)是来自正态总体N(,2)的一个样本,其中,2是未知参数,参数空间=-0.求与2的极大似然估计.,解 正态分布的似 然函数为,两边取对数得,由微积分知识易验证以上所求为与2的极大似然估计.,分别求关于与2的偏导数,得似然方程组,解这一方程组得,例:设总体X具有均匀分布,其概率密度函数为,求未知参数的极大似然估计.,解 设 (X1,X2,Xn)是来自总体X的一个样本.似然函数为,要使L(; x1,x2,xn)达到最大,就要使达到最小,由于,所以的极大似然估计值为：,参数的极大似然估计量为：,例 假设（X1，X2，Xn）是取自正态总体N(,2) 的样本，求和2的极大似然估计量。,解 构造似然函数,取对数,求偏导数，并令其为0,解得,所以，2的极大似然估计量为,与矩估计量 相同,例 设总体 X N (, 2), x1, x2, xn
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