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第十章复习课,一、 曲线积分的计算法,二、曲面积分的计算法,线面积分的计算,曲线积分,曲线域,曲面域,曲面积分,定积分:,二重积分:,三重积分:,显然,（一）曲线积分的概念与性质,（二）曲线积分的计算方法,（三）格林公式及其应用,主 要 内 容,一、 曲线积分的计算法,（四）线积分的应用,（一）曲线积分的概念与性质,（1）定义,设xoy面上的连续曲线L是分段光滑的，,且有,有限长度，,函数z=f(x,y)在L上有界，,在曲线L上依次,插入分点,为,如果极限,存在，,1.对弧长的曲线积分的概念及性质,存在，,如果极限,则称此极限为,函数f(x,y)在平面曲线L上对弧长的曲线积分，,记作,即,积分变量,积分弧段,被积表达式,弧长元素,积分和式,曲线形构件的质量,也称第一类曲线积分.,注意：,(1)曲线积分也是一个确定的常数，,它只与被积函,数f(x,y)及积分弧段L有关.,(2) f(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为,则有,(4)存在条件：,当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时，,(5)物理意义：,是线密度在L上的线积分.,(6)几何意义：,即：高在底L上的线积分.,(7)推广:,函数f(x,y,z)在空间曲线弧,上对弧长的曲线积分为,特别地：,联想：,（2）性质,(4)无向性：,对弧长的曲线积分与曲线的方向无关.,即,思考:,定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ?,否!,对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中,dx 可能为负.,回忆定积分：,故第一类曲线积分与定积分是有区别的.,2.对坐标的曲线积分的概念及性质,（1）定义,设L为xoy面上从点A到点B的一条分段光滑的有,向曲线，,函数,在L上有界.,沿L的方向依次,取分点,把L分成n个有向小弧段,小弧段长度的最大值.,如果极限,存在，,那么这个极限称为,记作,类似地，,那么,记作,的曲线积分，,即,其中,称为被积函数，,称为被积表达式，,(1) L称为积分路径.,说明：,(2)与第一类曲线积分记号的区别.,(3)组合形式,(4)特殊路径情况,x由,若,则,记作,（5）存在条件：,时，,第二类曲线积分 存在.,(6) 推广到,空间有向曲线弧,（2）对坐标的曲线积分的性质,则,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,回忆定积分：,故定积分是第二类曲线积分的特例.,例1.,设曲线L：,过第二象限内的点M和第四象限内的点N， 为L上,（B）,（C）,（D）,（A）,则下列小于零的是（ ）,从点M到点N的一段弧，,B,（二）曲线积分的计算方法,基本思路:,计算定积分,求曲线积分,1.计算第一类曲线积分的基本方法,-三代一定,定 义,计 算 方法,对弧长的曲线积分的计算步骤：,化为：,例1.,解:,所以,解:,例2.,分析: 若,需要分段计算，较复杂.,注意到：关于x轴对称，被积函数关于y是奇函数.,计算第一类曲线积分的简化方法：,1.利用第一类曲线积分的几何意义.,2.利用第一类曲线积分的对称性.,3.利用第一类曲线积分的积分弧段的方程化简被积函数.,注：第一类曲线积分的对称性：,例3.,解:,对于用一般方程表示的空间曲线,曲线积分常需要把的方程化为参数方程，这个过程一般是比较困难的，,在特殊情况下可用特殊方法处理.,要计算函数对弧长的,推广: 设空间曲线弧的参数方程为,则,例4.,解:,例5. 计算,其中L为圆周,提示:,原式 =,说明: 1.若用参数方程计算,则,2.若用参数方程：,2.计算第二类曲线积分的基本方法,-二代一定,定理,特殊情况：,(1)曲线弧L的方程为：,x自a到b,则,(2)曲线弧L的方程为：,y自 c到d,则,(3)推广,则,对坐标的曲线积分的计算步骤：,化为：,比较,直接法或参数方程法,例6. 计算,其中L 为沿抛物线,解法1:化为对x的定积分，则,解法2:化为对y的定积分，则,从点,的一段.,例7.,计算,其中L为圆周,沿逆时针方向.,解一:,=0.,解二:,在L上,则,于是,0.,例8.,解:,3.两类曲线积分之间的联系,（三）格林公式及其应用,1. 格林公式：,(1)格林公式是牛顿莱布尼兹公式的推广，,其中L是D的正向边界曲线（有向性）.,D是有界闭区域（封,在D上有一阶连续偏导数（连续性）.,上的二重积分与区域边界上的线积分的联系.,注意：,(2) 公式的记忆方法：,沟通了区域,(3)对复连通区域D,格林公式右端应包括沿区域D的全,部边界的曲线积分,且边界的方向对区域D来说都是正向,闭性），,(4)如果闭曲线L-是D的正向边界曲线L的反方向,则有：,格林公式;,(5) 格林公式适用于平面曲线上的第二类线积分的计算.,(6)如果L不是闭曲线或函数P(x,y),Q(x,y)在区域D的个别,点上一阶偏导数不连续，,格林公式不能直接使用，,此时往往需添加辅助线，,然后再作计算.,2. 格林公式的应用：,(2) 简化计算曲线积分,(1) 利用曲线积分计算平面图形的面积,闭区域D的面积,(3)平面上曲线积分与路径无关的等价条件,(4)二元函数的全微分求积,格林公式;,与路径无关的四个等价命题,条件,等 价 命 题,(1)在G内,与路径无关，,(2)在G内存在u(x,y),使,(3)在G内，,(4),闭曲线,在单连通区域G上P(x,y),Q(x,y)具有连续的,一阶偏导数，,则以下四个命题等价.,说明：1.四个等价命题,2.多元函数的原函数：,由此,可以求某个全微分的原函数，,并且原函数不唯一,闭合,非闭,闭合,非闭,补充曲线后用格林公式或直接计算,注意条件,例1.,L为由点(a,0) 到(0,0)的上半圆周,解:,L,如图，,D,添加辅助线：,2.注意格林公式成立的条件.,说明：,有向性；,连续性；,封闭性.,格林公式;,例2.,的分段光滑的连续闭曲线，,L的方向为逆时针方向.,L,解:,记L所围的闭区域为D，,令,由格林公式知，,其中L为一无重点且不过原点,注意格林公式的条件:,作位于D内圆周,其中 l 的方向取逆时针方向.,应用格林公式,得,即,有,解:,例3.,计算,为由点O(0,0)到点A(1,1)的曲线,其中L,因为,则,在 平面上成立.,选择如图所示的路径,选择新路径应注意：,（3）一般选与坐标轴平行的新路径,（1）新路径的起点与终点不变,（2）新路径,例4.,验证：,在整个xoy平面内，,是某个函,数的全微分，,并求出它的一个原函数.,解:,这里,则在整个xoy平面内有：,于是,在整个xoy平面 (它是一个单