数学三角形的角平分线.ppt

13.3 三角形的角平分线,复习提问,1、角平分线的概念,2、点到直线距离的意义。,一条射线,把一个角,分成两个相等的角，,这条射线叫做这个角的平分线。,下列两图中，能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是（ ）,图1,PA,下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角的边上的距离的是（ ）,PM,如右图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?,探究1：,A,C,D,B,E,A,O,仔细观察步骤,尺规作角的平分线,将AOB对折,在折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?,可以看一看,第一条折痕是AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到AOB两边的距离,这两个距离相等.,折一折,探究2：,已知：如图，OC是的AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别是D，E。,求证：PD=PE,证明： PDOA，PEOB（已知） PDO=PEO=90（垂直的定义）,在PDO和PEO中, PD=PE（全等三角形的对应边相等）, PDO= PEO AOC= BOC OP=OP, PDO PEO（AAS）,问题探究,A,B,O,D,E,P,C,角平分线的性质1：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,性质应用所具备的条件：,性质的作用：,证明线段相等。,性质的书写格式：,OP 是 的平分线,PD = PE,（在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。）,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。,1. 如图，AD平分BAC（已知）, = ，( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（）,练习：,2. 如图， DCAC，DBAB （已知）, = ，( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（）,3. AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知）, = ，（ ）,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等,4.ABC中, C=900,AD平分 CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？,A,B,C,D,E,5.如图所示， ABC中，AB=AC，M为BC中点，MDAB于D，MEAC于E。 求证：MD=ME。,如图，由 于点 D ， 于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？,议一议,到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。,已知：如图， ， ，垂足分别是 A、B，PD=PE ， 求证：点P在 的角平分线上。,到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。,已知：如图， ， ， 垂足分别是 D、E，PD=PE， 求证：点P在 的角平分线上。,证明：,作射线OP, 点P在 角的平分线上,在 RtPDO 和RtPEO 中，,（ HL）,（全等三角形的对应角相等）,OP = OP （公共边）,PD = PE （ 已 知 ）,性质 2,性质 2的应用书写格式：,OP 是 的平分线,PD= PE,（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）,性质 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,性质 2 到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。,PD = PE,用途：证线段相等,用途：判定一条射线是角平分线,(1). 1= 2,DCAC, DEAB _ (_) (2). DCAC ,DEAB ,DC=DE _ (_ _),1= 2,DC=DE,到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。,角平分线上的点到角的两边的距离相等,A,N,B,C,P,M,知识应用,1.如图，ABC的角的平分线BM， CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC， CA的距离相等.,想一想，点P在A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？,2直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有: ( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处,3.如图所示，PBAB，PCAC，且PB=PC，D是AP上一点。 求证： BDP= CDP,,小 结：,3 角的平分线的性质定理1，定理2是证明角相等，线段相